北师大版七年级数学下册 对顶角、余角和补角 教案

第二章　相交线与平行线

2.1两条直线的位置关系（第1课时）

一、教材分析

本节课是在七年级上学期学习了“丰富的图形世界”“基本平面图形”两章内容的基础上，研究同一平面内两直线的位置关系，角与角之间的数量关系.理解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用，为后续学习平行、直角三角形等知识奠定基础。同时，本节课通过大量的情景引入，激发学生从数学的角度认识现实，从实际情境中抽象出数学模型。再通过让学生经历观察、猜想、操作、交流、推理等探索过程 ，发展学生的空间观念及推理能力，为后续学习“空间与图形”的其它知识做好铺垫。

二、学生分析

学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识。这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的知识基础。

学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些动手操作，探索发现的数学活动，积累了一些初步的数学活动经验,为本节课重难点的突破做了活动上的准备。

三、教学目标分析

1．从熟悉的、感兴趣的情境出发，了解归纳平面内两条直线的位置关系(相交和平行)；在具体情境中抽象出对顶角、补角、余角的模型，理解对顶角、补角、余角的概念。

2．通过观察、操作、交流、推理等过程,探索并掌握对顶角相等,同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

3．在探索对顶角相等的活动中，经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性。

4. 激发学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量数学问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。

四、教学重难点分析

重点:从实际情境中抽象出数学模型，理解对顶角、余角、补角的概念及其性质。

难点:对顶角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的理由的探究过程；同角(等角)的余角相等性质的应用。

五、教学过程设计

本节课共设计以下环节：第一环节：情境引入，导入新课；第二环节：实践合作，探究新知；第三环节：学以致用，巩固练习；第四环节：综合运用，能力提升；第五环节：归纳总结，知识内化。

第一环节：情境引入，导入新课

【相交线与平行线】

1.视频引入：教师播放激光秀视频，引入新课——请学生观察视频中两条直线的位置关系。

2.动手操作：请同学从视频中抽象出两条直线的位置关系并在导学案上作图，归纳同一平面内，两直线的位置关系有哪几种？

师生交流归纳出：同一平面内，两条直线的位置关系可以分为相交和平行。

3.请同学举出生活中相交线和平行线的实例。

预设和弹性方案:

若有学生举例是异面直线，可以帮学生明确异面直线是在高中阶段学习的内容，初中阶段只学习同一平面内两条直线的位置关系。

设计意图：数学来源于生活，,从学生感兴趣的话题出发，体会数学与生活的联系。再动手操作，从实际情境中抽象出具体图形，归纳出两条直线的位置关系，增加学生自己的空间感觉和体验，发展学生的空间观念和几何直观。让学生自己举出生活中的实例，进一步感受数学与生活的密切联系。

第二环节：实践合作，探究新知

（一）对顶角

【概念】

1.引入：两个相交的小纸条可以看成图1，如图1,直线AB与CD交于点O,图中除平角以外,还有几个角?请同学将它们两两一组分类,可以分成几类？分类的依据？

解析：还有4个角；可以按照位置关系分两类：第一类是∠1与∠2,∠3与∠4，它们是对着的；第二类∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4，它们都是相邻的角。

图1

2.明确概念：请同学们给第一类角起个名字， 他们有一个生动的名字就叫做对顶角，观察对顶角的顶点和两边的位置关系，请同学们试着描述具有怎样位置关系的两个角是对顶角呢？

解析：像∠1与∠2这样，有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

3.挖掘概念内涵:

问题：下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ D  ）

2.右图中，∠AOD的对顶角是            

【性质】

研究了对顶角的位置关系，再来探究对顶角的数量关系。

1. 学生探究活动一：

探究问题：（1）观察并猜想∠1和∠2具有怎样的数量关系？

（2）当交点O固定，改变直线AB和直线CD的位置关系，∠1和∠2一直具有这样的数量关系吗？

（3）你能得到什么结论？小组合作验证你的结论。

解析：∠1和∠2相等；一直相等；测量法，叠合法，利用平角和等式的基本性质进行说理。

学生合作交流后展示不同的方法，教师用几何画板辅助。

 预设和弹性方案：

学生可能用不同的方法探究结论：可以用量角器测量得到，可以利用折叠的方法，也可以是借助平角的定义和等式的性质。每一种种方法都予以肯定,如果学生只用了一种方法，进行引导发现另外的方法。

2.应用练习：

如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？                                       

解析：40°；根据是对顶角相等。

（二）补角

【概念】

1.问题引入：研究了第一类角，再来研究第二类角。

∠1与∠3具有怎样的数量关系？∠2与∠3具有怎样的数量关系？

解析：∠1与∠3的和是180°，∠2与∠3的和是180°。

2.明确概念：

如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角。

3.挖掘概念内涵：

问题1：（用几何画板演示）移动∠3和∠1到图2的位置，∠1和∠3仍然是互为补角吗？

解析：仍然是。引导学生明确互补指的是两个角之间的数量关系,只与角的度数有关,而跟它们的位置无关.

问题2：图3中的两个角互补吗？

解析：不互补，引导学生明确互补指的是两个角之间的关系。

图2                      图3

【性质】

1.学生探究活动二：

探究问题：如图：∠2和∠3互补，∠2和∠4互补，∠3和∠4的大小有什么关系？为什么？由此，你能得到什么结论？         

图4                                        图5

学生合作交流得到结论：同角的补角相等。

2.追问：等角的补角呢？如图5：∠1和∠3互补，∠2和∠4互补，∠1＝∠2，∠3还等于∠4吗？

学生交流得到结论：同角(等角)的补角相等。

符号语言：因为∠1= ∠2，

∠1 +∠3=180°,

∠2+∠4=180°，

所以 ∠3=∠4.

（三）余角

【概念】

类似的，如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角。

【性质】

1.学生探究活动三：

类比补角的性质，探究余角的性质。

探究问题：∠AOB=90°，∠COD=90°，∠2的余角有哪些？它们的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？

符号语言：因为∠1 +∠2=180°,

∠2+∠3=180°，

所以 ∠1=∠3.                                           

学生交流得到结论：同角(等角)的补角相等。

2.应用练习： 如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2.则∠3和∠4满足的数量关系是             ，理论依据是             。

追问：图中还有哪些相等的角？（除平角和直角外）为什么？

解析：∠3=∠4；等角的余角相等。∠AOC=∠BOD；等角的补角相等。

设计意图：重视动手操作，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径之一。通过生动有趣的动手操作，为学生提供观察、操作、推理、交流的数学活动，使学生在自主学习的过程中，探索余角和等角的性质，积累活动经验。同时用与实际生活相连的实际应用问题，进一步培养学生从实际情境中抽象几何图形进行建模的能力。在探究角相等的过程中，鼓励学生采用测量法、叠合法、说理等不同的方法去探究结果，经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。         

第三环节：学以致用，巩固练习

1. 若∠α=20°，则等，则∠1是          度。
2. ∠1和∠2互补且相等，则∠1是          度。

3.如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，，∠1=50°，则∠2=         ，∠BOC=     ,∠AOD=         .

4.如图所示，∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，则图中与∠BOC相等的角为           ；与∠BOC互余的角为          ；与∠BOC互补的角为            .

设计意图：通过练习，巩固本节课所学知识，强化学习效果和运用方法，了解对所学知识的掌握程度。同时，通过设置有梯度的练习题目，可以使孩子的逻辑思维能力由简单向复杂，有低级向高级逐步提高。

第四环节：综合运用，能力提升

如图，将一个长方形纸片沿着直线EF折叠，点C落在点H处；再将∠D沿着GE折叠，使DE落在直线EH上：

问题1：∠FEG等于多少度？为什么？

问题2：∠FEH与∠GEH互余吗？为什么？

问题3：上述折纸的图形中，还有哪些（除直角外）相等的角？

设计意图：将本节课所学知识放到折叠的问题情境中，培养学生对所学知识的综合运用能力空间想象能力。

第五环节：归纳总结，知识内化

鼓励学生畅谈自己的收获，引导学生进行多方面的总结。

设计意图：鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，归纳学习方法及探究数学问题的方法，并能将其运用到今后的数学学习中。使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、建构出自己的知识体系.

六、板书设计

2.1两条直线的位置关系

七、教学设计反思

1.让学生用数学的眼光看世界——发展空间观念和几何直观。

数学来源于生活，反之又服务于生活。引导学生从身边熟悉的情境出发，使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程，体会本节课的重要性和在生活中的广泛应用；通过学习情境的运用，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学，同时发展了学生的空间观念和几何直观。

2.现代化教学辅助手段——提升效果。

    几何画板能动态地演示图形的变化过程，动态的画面有其真实鲜活的一面，更加生动、形象，都让学生能进一步加强空间想象能力，增强直观感受。

3. 思维导图——建构体系。

   在教学过程、课堂总结和板书设计上都采用思维导图的形式，引导学生体会知识之间的联系，启发学生去构建自己的知识体系。