清单18平面向量的概念、线性运算及基本定理 （解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单18平面向量的概念、线性运算及基本定理 （解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共22页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单18 平面向量的概念、线性运算及基本定理
一、知识与方法清单
1.向量
向量是既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
注意向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量.
(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
【对点训练1】设a0为单位向量，
①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；
②若a与a0平行，则a＝|a|a0；
③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.
上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
2.零向量
长度为0的向量；注意零向量的方向是任意的
【对点训练2】下列叙述错误的是________．
①若a∥b，b∥c，则a∥c.
②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．
④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
⑤＋＝0.
⑥若λa＝λb，则a＝b.
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．
对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．
对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．
对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．
对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.
对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.
故①②③④⑤⑥均错．
3.单位向量
单位向量是长度等于1个单位长度的向量，注意单位向量的长度确定，但方向不确定，故单位向量有无数个，与非零向量a共线的单位向量为±.
【对点训练3】与共线的单位向量为
【答案】
【解析】因为，所以与共线的单位向量为.
4.平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量是共线向量，注意课本规定零向量与任意向量都共线.
【对点训练4】对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量是相等向量
解读：对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”.
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的.
(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量.
【对点训练5】给出下列命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四点A，B，C，D构成平行四边形；
④在▱ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.
其中不正确的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．若＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.
6.相反向量
长度相等且方向相反的向量是相反向量
解读：对相反向量的两点说明
(1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反，模长相等的两个向量.
(2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件：一是长度相等，二是方向相反，两者缺一不可.
【对点训练6】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
7.向量的加法法则
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．


图1
图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
解读：对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明
(1)两个法则的使用条件不同.
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
(3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
【对点训练7】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
【答案】2
【解析】由向量加法的平行四边形法则，
得＋＝.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，
∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.
8.向量的减法法则
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b ，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．

解读：向量减法法则的两点说明
(1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b不共线时，a，b与a-b围成一个三角形；当a，b共线时，a，b与a-b不能围成一个三角形.(2)向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
【对点训练8】设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
【答案】A
【解析】∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.
9.实数与向量的乘积
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
①＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.
解读：向量数乘定义的两个关注点
(1)条件：一个实数与一个向量乘积.
(2)结论：向量数乘的结果为一个向量，其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关.
【对点训练9】已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
【答案】D
【解析】因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，所以 解得此时c＝－d.所以c与d反向．故选D.
10.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
解读：对向量共线的条件的说明
(1)在向量共线的条件中之所以限定a≠0，是由于若a=b=0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一.
(2)根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，确定实数λ，使b=λa时，分两点：①确定符号，a与b同向时，λ为正；a与b反向时，λ为负.②确定λ的绝对值.
【对点训练10】已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
【答案】D
【解析】因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．故选D.

11. 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
【对点训练11】在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.
12. 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
【对点训练12】如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．
【答案】2
【解析】取AC的中点D，连接OD，

则＋＝2，∴＝－，
∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC与△AOC面积之比为2.
13.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
【对点训练13】如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵O为BC的中点，
∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.
14求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
【对点训练14】在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.


解法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b.

解法二：由于G是△ABC的中线BE与CF的交点，所以G为△ABC的重心．延长AG交BC于H，由重心的性质知，＝＝×(＋)＝a＋b.
15.求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
【对点训练15】设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【答案】
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
16.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
【对点训练16】已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【答案】D
【解析】由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，
所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1，故选D.
17.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
【对点训练17】已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c等于(　　)
A．a B．b
C．c D．0
【答案】D
【解析】依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.
18.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
解读：对平面向量基本定理的两点说明
(1)作用和意义
平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
(2)基底的性质：
①不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底.
②不唯一性
对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的
【对点训练18】如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.

【答案】
【解析】如图，取单位向量i，j，

则a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.
∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，
∴　∴∴x＋y＝.
19.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【对点训练19】在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
【答案】
【解析】选择，作为平面向量的一组基底，
则＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，
于是得解得所以λ＋μ＝.
20.设O为△ABC所在平面内一点.
(1)O△ABC重心＋＋=2＋2＋2取得最小值=(＋＋).
(2)O为△ABC外心2=2=2（+）∙=（＋）∙=（＋）∙.
(3)O为△ABC垂心∙=∙=∙2＋2=2＋2=2＋2.
(4)O为△ABC内心a＋b＋c=∙（+）=∙（+）=∙（+）=0.
【对点训练20】点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
【答案】C
【解析】（1）显然得出为的重心；
（2），同理，所以为的垂心；
（3）OA,OB分别是的角平分线，所以为的内心；
（4）（M是AB中点）同理（N是BC中点），所以为的外心.故选.
21.
【对点训练21】若，则的最大值为 .
【答案】7
【解析】，所以的最大值为7.
二、跟踪检测
一、单选题
1．是四边形构成平行四边形的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可知，所以四边形一定能构成平行四边形；当四边形构成平行四边形，则有，且与同向，所以，所以是四边形构成平行四边形的充要条件，故选A
2．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，
所以，所以.故选C.
3．（2021山西省名校联考高三三模）已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设分别是的中点，由于是三角形的重心，
所以.故选C

4．（2021江西省南昌市第二中学、河南省实验中学高三5月联考）在中，已知为上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得：,所以,故选D.
5．（2021百师联盟高三冲刺卷）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为､､三点共线，所以存在实数λ，使得，
，所以，
∴，解得.故选A.
6．（2021】新疆高三年级第二次诊断）如图，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，，则.故选A
7．（2021 “超级全能生”高三5月联考）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∵，
∴，∵B，D，E三点共线，∴，∴．故选D．
8．（2021安徽省皖江名校高三5月最后一卷）在中，，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，因为，
所以，即，所以.故选C
9．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，所以是成立的充分条件，故选项D正确；故选D.
10．（2021浙江省杭州市高三下学期高考仿真模拟）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是,故选C.
11．(2021全国100所名校高三最新高考冲刺卷)2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，
因，由黄金分割比可得，
于是得，即有，
同理有，而，即，
从而有，
所以.故选D
12．（2021广东省东莞市高三下学期复习卷）已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，由得，
即，即，故，
故与以为底，其高的比为，故．
故选C．

二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．若为平面向量，，则
B．若为平面向量，，则
C．若，，则在方向上的投影为
D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ
【答案】CD
【解析】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；
B，若，则，，当共面时，，
若不共面时，与不平行，故B错误；
C，若，则，所以，
在方向上的投影为，故C正确；
D，，设,
则


，
设，则，即，①
，设，
，
，即，②
由①②可得，，即，故D正确. 故选CD
14．对于任意向量，，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若 ，则
【答案】CD
【解析】A. 当时，满足，，但不一定共线，故错误；
B. 因为，所以，所以，故错误；
C. 因为，，所以，故正确；
D. 因为 ，所以，即，故正确；故选CD
15．在直角梯形中，，，，，E为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】

A项，，故A正确；
B项，，，故B正确；
C项，因为与反向共线，，所以，故C不正确；
D项，
，故D正确．故选ABD．
16．（2021重庆市第八中学高三下学期适应性月考）已知P，Q分别为曲线和上的动点，且P，Q不重合．O为坐标原点，．记，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当t取得最小值时，
D．当取得最小值时，四边形为正方形
【答案】ACD
【解析】设，，
，，，， ，，，
则或；
，故A正确，B错误；
又，故t取最小值时，，此时，此时，故C正确；
，故且时，取最小值，此时，，所以四边形为正方形，故D正确.故选ACD．
17．（2021河北省唐山市高三三轮复习）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.
【答案】AB
【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；
对于B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确；
对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；
对于D, 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误.故选AB.
三、填空题
18．（2021广东省揭阳市高考模拟）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在､､､中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
【答案】
【解析】
19．（2021上海市南模中学高三三模）已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线.

【答案】
【解析】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，

则，
又，（），则，，
故，即
若B、M、N三点共线，由共线定理知，
，解得或（舍）
四、解答题
20．（2021河南省驻马店市高三上学期四校联考）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.

（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【解析】（1）因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，
所以，在矩形ABCD中，，，，即，则
（2）以AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，设，；
\，
；
\的取值范围为：.
21．（2021江苏省无锡市高三上学期期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.

（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，，求角A的值.
【解析】（1）由平面向量的线性运算可知，
.
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以
，解得，
所以，则可化简上式为，解得，又，故.
22．（2021黑龙江省哈尔滨市高三下学期5月模拟）的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．
【解析】（1）因为，∴
在中，由余弦定理得，∴
（2）由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，

则
所以
（3）由题意可知：


，
∴，.