2.3.5 点与点，点与线，线与线对称专题-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

点点，点线，线线对称专题 1.对称 点M（x,y）直线Ax+By+C=0关于x轴对称（x,-y）Ax+B(-y)+C=0关于y轴对称（-x,y）A(-x)+By+C=0关于原点对称（-x,-y）A(-x)+B(-y)+C=0关于直线y=x对称（y,x）Ay+Bx+C=0关于直线y=-x对称（-y,-x）A(-y)+B(-x)+C=0关于直线关于直线关于直线对称（）关于直线对称（） 考点一：点关于点对称实质：该点是两对称点连线段的中点           方法：利用中点坐标公式说明：平面内点关于对称点坐标为  平面内点，关于点对称1.求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 1. B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）2.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．2.    解析　由题意知解得∴d＝＝．考点二：点关于直线对称实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’,y’)，则 2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，） 1.求点A(-1,3)关于直线L：2x-y+3=0的对称点B的坐标.  1.设B坐标(a，b)，则线段AB中点坐标，则 ， 即B点坐标。 2. 求点A（1，3）关于直线：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.2.直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为由题意可知，，解得. 故所求点A′的坐标为3. 求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.3.设A(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为A′(x1，y1)∴  解得：   ∴A′(－6，－8)∴A(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为(－6，－8) 4.若直线：和直线关于直线对称，那么直线恒过定点 （1，1）    4.直线恒过定点（0，2），则（0，2）关于直线的对称点必在直线上5.如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) A．2       B．6C．3        D．2 5.答案：A  易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝＝2. 6.若一束光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在直线方程为(　　)A．2x＋y－6＝0      B．x－2y＋7＝0C．x－y＋3＝0       D．x＋2y－9＝06.B　 取直线2x－y＋2＝0上一点A(0，2)，设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0的对称点为B(a，b)，则有解得所以B点坐标为(3，5)．联立方程，得解得所以直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1，4)．所以反射光线在经过点B(3，5)和点P(1，4)的直线上，故其直线方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0. 7.已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0，0)，M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．7.解：设点O(0，0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点为O′(x0，y0)，则OO′的中点坐标为，联立：2×－＋1＝0和 ＝－，解得x0＝－，y0＝.所以O′，则直线MO′的方程为y－3＝x.直线MO′与直线l：2x－y＋1＝0的交点P即为所求，相应的||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝. 考点三：直线关于点对称   直线关于点的对称   实质：两直线平行 法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等） 1. 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.解法一   由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二   在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.   故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 2.直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是(　D　)A.3x-2y-6=0      B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0      D.2x+3y+8=0 3.与直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线为(　　)A．3x－2y－6＝0        B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0       D．2x＋3y＋8＝03.D 设直线上点P(x0，y0)关于点(1，－1)对称的点为P′(x，y)，则代入2x0＋3y0－6＝0得2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，得2x＋3y＋8＝0.    考点四：直线关于直线对称1.当与l相交时   方法：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题 1.求直线:2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0的对称直线的方程。  由，得 ，即与l的交点P坐标为（3，-2）。在上取一点A（2，0），设点A关于l的对称点B坐标为(x，y)， ，即  ，解得   ，即点B。因为P，B在l上，可得方程2x+11y+16=0。 2.和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为          2.答案：5x＋4y＋1＝0 设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线5x－4y＋1＝0上，所以5x＋4y＋1＝0，故所求直线方程为5x＋4y＋1＝0. 3.已知直线l的方程是y＝2x＋3，则l关于y＝－x对称的直线方程是(　　)A．x－2y＋3＝0      B．x－2y＝0C．x－2y－3＝0      D．2x－y＝03. A  在直线l上取两点A(0,3)，B(－2，－1)，则点A，B关于直线y＝－x的对称点为A′(－3,0)，B′(1,2)，所以所求直线的方程是＝，即x－2y＋3＝0.4. 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.4. 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0. 5.已知P(-1，2) ，M(1，3)， 直线：y=2x+1  （1）求点P关于直线l的对称点R坐标；（2）求直线PM关于直线l的对称的直线方程；5.解：（1）设点P关于直线l的对称点R坐标(x,y)，   ，得 （2）的坐标满足直线l的方程，又点P关于直线l的对称点为，则MR直线为所求的直线，方程为11x+2y-17=0.