湖南省湘潭市2022届高三上学期9月第一次模拟考试数学试题 Word版含答案
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数学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,复数,,则复数对应的复平面上的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图,在直四棱柱中,下列结论正确的是( )
A.与是两条相交直线
B.平面
C.
D.,,,四点共面
4.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533-1606年)所著.程少年时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集很多数学书籍,刻苦钻研,时有心得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?"根据诗词的意思,可得塔的最底层共有灯( )
A.192盏 B.128盏 C.3盏 D.1盏
5.已知函数,则( )
A.的周期为
B.将的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数解析式为
C.的图象关于点对称
D.的图象关于直线对称
6.已知抛物线:()的焦点为,点在上,且,若点的坐标为,且,则的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
7.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了下面两个问题:
问题一:你的父亲阳历生日日期是不是奇数?
问题二:你是否经常吸烟?
调查者设计了一个随机化装置:一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子,每个被调查者随机从袋子中摸取1个球(摸出的球再放回袋子中),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不要做,如果一年按365天计算,且最后盒子中有60个小石子,则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为( )
A.7% B.8% C.9% D.30%
8.已知定义域为的函数的导函数为,且,若实数,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知向量,,且与的夹角为,则( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量服从正态分布,则( )
A.的数学期望为 B.的方差为
C. D.
11.若,,则( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线(,)的左,右焦点为,,右顶点为,则下列结论中,正确的有( )
A.若,则的离心率为
B.若以为圆心,为半径作圆,则圆与的渐近线相切
C.若为上不与顶点重合的一点,则的内切圆圆心的横坐标
D.若为直线()上纵坐标不为0的一点,则当的纵坐标为时,外接圆的面积最小
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知角的终边经过点,则______.
14.已知定义域为的偶函数在上单调递减,且2是函数的一个零点,则不等式的解集为______.
15.已知某正方体外接球的表面积为,则该正方体的棱长为______.
16.用实数(或1)表示命题的真假,其中表示命题为假,表示命题为真.设命题:,().
(1)当时,______;(2)当时,实数的取值范围为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知为数列的前项和,且,(,为常数),若,.求:
(1)数列的通项公式;
(2)的最值.
18.(本小题满分12分)
在锐角中,角,,的对边分别为,,,若.
(1)求的值;
(2)是否存在角,(),满足?若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)
某学校举行“英语风采”大赛,有30名学生参加决赛,评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分,每项评分均采用10分制,两项均为6分起评,两项分数之和为该参赛学生的最后得分,若设“口语表达”得分为,“演讲内容”得分为,比赛结束后,统计结果如下表:
得分人数 | 演讲人数 | |||||
6分 | 7分 | 8分 | 9分 | 10分 | ||
口语表达 | 6分 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
7分 | 3 | 2 | 1 | 2 | 0 | |
8分 | 1 | 2 | 3 | 1 | 0 | |
9分 | 1 | 2 | 1 | 1 | ||
10分 | 0 | 0 | 1 | 1 |
(1)从这30名学生中随机抽取1人,求这名学生的最后得分为15分的概率;
(2)若“口语表达”得分的数学期望为.求:
①,的值;
②这30名参赛学生最后得分的数学期望.
20.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,底面,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的大小为,过点作于,求直线与平面所成角的大小.
21.(本小题满分12分)
已知圆锥曲线上的点的坐标满足.
(1)说明是什么图形,并写出其标准方程;
(2)若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点,,点为.
①求直线在轴上的截距的取值范围;
②求证:的平分线总垂直于轴.
22.(本小题满分12分)
已知为自然对数的底数,函数,().
(1)若,且的图象与的图象相切,求的值;
(2)若对任意的恒成立,求的最大值.
湘潭市2022届高三第一次模拟考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.【命题意图】本题重点考查元素与集合的关系,集合的运算,指数函数的性质等数学基础知识,属容易题.
【答案】C
【解析】因为,所以.故选:C.
2.【命题意图】本题重点考查复数的几何意义,复数的运算等复数的基础知识,属容易题.
【答案】D
【解析】因为,所以对应的复平面上的点为,它位于第四象限.故选:D.
3.【命题意图】本题重点考查棱柱的结构特征,空间点线面的位置关系,考查学生的空间想象能力,属容易题.
【答案】B
【解析】因为,所以平面,所以B正确;A,C,D都不正确.故选:B.
4.【命题意图】本题重点考查等比数列的概念、通项公式与前和等数列的基础知识,考查学生的阅读理解能力、数学应用能力和家国情怀,属容易题.
【答案】A
【解析】设这个塔顶层有盏灯,则问题等价于一个首项为,公比为2的等比数列的前7项和为381,所以,解得,所以这个塔的最底层有盏灯.故选:A.
5.【命题意图】本题重点考查正弦函数的图象与性质,属容易题.
【答案】B
【解析】因为的周期为,它的图象关于直线和点()对称,所以A,C,D都不对;将的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数解析式为,所以B正确.故选:B.
6.【命题意图】本题重点考查直线的方程,抛物线的定义、标准方程与性质,直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识,考查函数与方程,转化与化归的思想,属中档题.
【答案】A
【解析】设为,则,又,所以,
因为,所以,可得,又,
联立,消去,得,所以,故,
又,所以,即,解得,或,
所以的方程为或.故选:A.
7.【命题意图】本题重点考查概率的有关知识,考查学生的阅读理解能力与数学应用意识,属中档题.
【答案】C
【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中,随机摸出1个球,摸到白球和红球的概率都为,因此,这200人中,回答了第一个问题的有100人,而一年365天中,阳历为奇数的有186天,所以对第一个问题回答“是”的概率为,所以这100个回答第一个问题的学生中,约有51人回答了“是”,从而可以估计,在回答第二个问题的100人中,约有9人回答了“是”,所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.故选:C.
8.【命题意图】本题重点考查函数与导数、不等式的有关知识,考查转化与化归的思想,考查学生的数学综合解题能力,属稍难题.
【答案】D
【解析】令,则,所以为增函数,
又当时,,所以,即,
所以.故选:D.
9.【命题意图】本题重点考查平面向量的坐标运算,向量的模,向量共线的条件,数量积,向量的夹角等平面向量的基础知识,属容易题.
【答案】BD
【解析】对于A,因为,所以A不正确;
对于B.因为,,所以B正确;
对于C,因为,所以C不正确;
对于D,因为,所以D正确.故选:BD.
10.【命题意图】本题重点考查正态分布的有关概念和性质,属容易题.
【答案】AC
【解析】由正态分布的定义及正态曲线的性质,可知A,C正确,B,D不正确.故选:AC.
11.【命题意图】本题重点考查指数与对数的运算,基本不等式,比较法等数学基础知识,考查学生的估算能力,属中档题(选对A,得2分很容易).
【答案】ACD
【解析】由已知,有,.
对于A,有,所以A正确;
对于B,因为,且,,,所以,得,所以B不正确;
对于C,因为,且,,,所以,所以C正确;
对于D,因为,而,
因为,所以,故,所以D正确.故选:ACD.
12.【命题意图】本题重点考查双曲线的定义与几何性质,直线与圆的位置关系,正弦定理,三角变换及基本不等式等有关知识,考查学生的综合解题能力,属稍难题(选对A,得2分很容易).
【答案】ABD
【解析】对于A,因为,所以,故的离心率,所以A正确;
对于B,因为到渐近线的距离为,所以B正确;
对于C,由双曲线的定义,可得的内切圆圆心的横坐标,所以C不正确;
对于D,由正弦定理,可知外接圆的半径为,所以当最大时,最小.
因为,所以为锐角,故最大,只需最大.
由对称性,不妨设(),设直线与轴的交点为,
则,
当且仅当,即时,取最大值,
由双曲线的对称性可知,当时,也取得最大值,所以D正确.
故选:ABD.
13.【命题意图】本题重点考查三角函数的定义,属容易题.
【答案】
【解析】因为,,所以.
故答案为.
14.【命题意图】本题重点考查函数的奇偶性,单调性,函数的零点,数形结合等函数的基础知识,属容易题.
【答案】
【解析】因为2是函数的一个零点,所以,
因为函数是偶函数,所以原不等式等价于,
又因为函数在上单调递减,所以,解得.
故答案为:.
15.【命题意图】本题重点考查正方体与球的结构特征,球的表面积等立体几何的基础知识,考查学生的空间想象能力,属容易题.
【答案】1
【解析】设正方体的棱长为,外接球的半径为,则,又,所以,故.故答案为:1.
16.【命题意图】本题是一道新定义创新题,重点考查命题,分段函数,函数的图象与性质等函数的基础知识,考查学生的阅读理解能力及函数与方程,数形结合,转化与化归,分类与整合等数学思想方法,属稍难题(第
(1)问中档题,第(2)问稍难题).
【答案】(1)0;(2).(第(1)问2分,第(2)问3分)
【解析】(1)当时,不等式对不成立,所以为假命题,故;
(2)因为,所以命题为真命题,令,
则,所以当时,为减函数,当时,为增函数,要使,
成立,只需和时,都成立,所以,得.
故答案为:(1)0;(2).
17.【命题意图】本题重点考查等差数列的定义、通项公式与求和公式等数列的基础知识,考查函数与方程,分类与整合等数学思想方法,属容易题.
【解析】(1)由,得,
由,得,
所以,或,
由,得,,此时,;
由,得,,此时,;
所以,或;
(2)当时,,因为是关于正整数的增函数,所以为的最小值,无最大值;
当时,,因为为正整数,所以当或时,有最大值,无最小值.
18.【命题意图】本题重点考查正弦定理,诱导公式、同角三角函数关系与两角和的正切公式等三角函数的基础知识,考查转化与化归的数学思想和学生的探究能力,(1)属容易题,(2)属中档题.
【解析】(1)因为,
由正弦定理,得,
又因为,所以,故;
(2)假设存在角,(),满足,
由及,可得,
因为,所以,
由,可得,
由,且,解得,,
从而,,故存在,满足题意.
19.【命题意图】本题重点考查概率统计的有关知识,考查学生的阅读理解能力和数据处理能力,属中档题.
【解析】(1)因为,
所以最后得分为15的人数有,故从这30名学生中随机抽取1人,这名学生的最后得分为15分的概率为;
(2)①由表可知“口语表达”得分有6分、7分、8分、9分、10分,
且每个分数分别有2人,8人,7人,人,人.
所以“口语表达”得分的分布列为:
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
又“口语表达”得分的数学期望为,所以,
化简,得,
因为学生共有30人,所以,
由,解得,;
②这30名参赛学生最后得分的分布列为
得分 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
所以这30名参赛学生最后得分的数学期望为
.
20.【命题意图】本题重点考查空间点线面的位置关系,二面角,直线与平面所成的角等立体几何的基础知识,考查学生的空间想象能力和运算推理能力,(1)属容易题,(2)属中档题.
【解析】(1)因为底面,所以,又,
所以,又,为平面内的两条相交直线,所以平面,
因为平面,所以平面平面;
(2)解法一由(1)可知,为二面角的平面角,所以,
又,,,所以,
过点作于,则平面且为中点,连接,
则为直线与平面所成的角,
在中,,,
所以,
故,
所以直线与平面所成的角为60°.
解法二建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知,可得,,,,
设,(),则,,,
因为,,,
所以,
解得,所以,故,
设平面的法向量为,因为,,
由,得,
令,则,
所以为平面的一个法向量,
所以,
故直线与平面所成的角的正弦值为,所以直线与平面所成的角为60°.
21.【命题意图】本题重点考查直线的倾斜角、斜率与方程,椭圆的定义与标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识,考查坐标法,函数与方程,数形结合,转化与化归等数学思想方法,(1)属容易题,(2)属稍难题.
【解析】(1)圆锥曲线是以,为焦点,长轴长为的椭圆,
其标准方程为;
(2)①设直线:,,,
由,消去,得,
由题意,有,解得,
所以直线在轴上的截距的取值范围为;
②因为点在椭圆上,若直线过点,即点(或点)与重合,则与的另一个交点为,不合题意,所以点(或点)与不重合;
若或的斜率不存在,则直线过点,此时,与只有一个交点,
所以与的斜率都存在,
设直线的斜率为,直线的斜率为,因为,在轴的右侧,结合图象,可知,
要证的平分线总垂直于轴,只要证,
因为,,也即证:,
而
成立,
故的平分线总垂直于轴.
22.【命题意图】本题重点考查函数的最值,导数的几何意义及导数在函数中的应用,不等式等函数、导数和不等式的基础知识,考查学生的转化与化归,分类与整合的数学思想和运用所学知识解决数学问题的综合能力,
(1)属中档题,(2)属稍难题.
【解析】(1)因为的图象与的图象相切,设切点为,
又,所以,解得,.
所以;
(2)因为等价于,令,
当时,在上为增函数,且当时,,所以不满足题意;
当时,对任意的恒成立,所以,故,此时的最大值为0;
当时,因为,由,得,
又当时,,当时,,
所以在上为增函数,在上为减函数,
所以当时,有最小值,
所以,即,所以,
令(),则,
所以当时,为增函数,当时,为减函数,
所以,故,所以的最大值为;
综上所述,的最大值为.
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