2020-2021学年上海市嘉定区一模数学试卷及答案

嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试

数 学 试 卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，，则____________．

2．抛物线的焦点坐标为____________．

3．不等式的解为____________．

4．已知复数满足（为虚数单位），则___________．

5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，

则____________．

6．设函数的反函数为，若，

则____________．

7．设各项均为正数的无穷等比数列满足：，则数列的各项的和为____________．

8．在中，，将绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为____________．

9．在中，，，则____________．

10．甲和乙等五名志愿者参加进博会、、、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．

11．设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使，则的最小值为_____________．

12．已知函数．若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知，，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ）．

A．充分非必要条件               B．必要非充分条件

C．充要条件                     D．既非充分又非必要条件

14．已知，且，则下列不等式恒成立的是                    （    ）．

A．         B．        C．          D．

15．过双曲线 （）的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点．若以的右焦点为圆心、以为半径的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的方程为                                                （    ）．

A．    B．      C．      D．

16．如图，在棱长为的正方体中，点是该正方体棱上一点．若满足（）的点的个数为，则的取值范围是                                    （    ）．

A．               B．

C．               D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，正四棱柱的底面边长为，

．

（1）求该正四棱柱的表面积和体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数 （）的最小正周期为．

（1）求的值及函数，的值域；

（2）在中，内角、、所对边的长分别为、、，若，

，的面积为，，求的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：

（）．

研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时．

（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；

（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足， 求隧道内车流量的最大值（精确到辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到辆/千米）．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，且经

过点．为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求线段的长；

（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质．

（1）判断数列是否具有性质，并说明理由；

（2）设项数为的数列具有性质，求证：

；

（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列.