清单 09对数与对数函数（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

清单09 对数与对数函数

知识与方法清单

1. 一般地,如果＝N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作b＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．ab＝N⇔b＝logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.

【对点训练1】十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数,后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即．现已知,则________,________．

2.＝N(a>0,且a≠1).

【对点训练2】若,则________．．

3.对数的运算法则

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．在运算性质logaMn＝nlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋,且n为偶数)．

【对点训练3】若,则=________．(精确到0.0001)

4. 对数式的化简、求值问题,要注意对数运算性质的逆向运用,如：当时,

,其中a>0且a≠1.

【对点训练4】的值为________．

5. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论.

对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．

换底公式的两个重要结论：(1)logab＝；其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.

【对点训练5】（2021山西省临汾市高三考前适应性训练）已知,且,则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．9

6. 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

【对点训练6】

7.对于含指数式的等式,有时通过两边取对数,可以把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.

【对点训练7】设,,为正数,且,则(   )

A．      B．     C．     D．

8.对于含对数式的等式,有时可利用指数式与对数式之间的关系,把对数式化为指数式,这种改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.

【对点训练8】（2021安徽省蚌埠市高三下学期最后一模）已知,则,,的大小排序为（    ）

A． B． C． D．

9. y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象过定点对称,作y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象应抓住三个关键点,(1,0),(a,1)．

【对点训练9】在同一直角坐标系中,函数f(x)＝xa(x＞0),g(x)＝logax的图象可能是(　　)

10.的图象与的图象关于x轴对称；的图象与的图象关于y轴对称.

【对点训练10】已知,若图象与图象关于原点对称,且图象经过点,则________．

11.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．如图,作直线y＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

【对点训练11】如图,①②③④分别为函数,,,的图象,则与0的大小关系为     

12．若,则是增函数,若,是减函数.无论是讨论还是利用对数函数的性质,要分清函数的底数是,还是．

【对点训练12】已知,若存在实数t,使得在上的值域为,则a=________．

13. 比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．

【对点训练13】（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若,则a,b,c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

14.若a＞0,且a≠1,则 ,.

【对点训练14】若,则实数a的取值范围是________．

15. 一些简单的对数不等式,一般先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解,一些含有对数式的不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.具体做法是：对不等式变形,不等号两边对应两个函数．在同一坐标系下作出两个函数的图象,比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.

【对点训练15】,则x的取值范围是________．

16. 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．

【对点训练16】若与是互为反函数,则

17.作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象．

【对点训练17】已知函数y＝loga(x＋c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)

A．a>1,c>1    B．a>1,0<c<1     C．0<a<1,c>1   D．0<a<1,0<c<1

18.求含有对数式的复合函数的定义域要注意满足对数式本身有意义.

【对点训练18】的定义域为    

19.对于形如( a>0,a≠1,)的函数,高考考查重点是其图象的应用及根据函数在给定区间上的单调性,求参数取值范围,对于后一类问题,一定要注意定义域优先原则.

【对点训练19】在上是减函数,则实数a的取值范围是________．

20.对于形如的函数,要求会求该类函数的定义域、值域及单调区间.

其中判断该类函数单调性的步骤为：1.求定义域2.判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．3.判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调.

【对点训练20】已知函数f(x)＝．

(1)若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是________；

(2)若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是________；

(3)若的定义域为R,则实数a的取值范围是________；

(4)若函数f(x)有最小值,则实数a的取值范围是________；

(5)若函数f(x)在上有意义,则实数a的取值范围是________；

(6)若函数f(x)在上是增函数,则实数a的取值范围是________.

21.形如的函数,可通过设,把函数转化为二次函数问题求解.

【对点训练21】函数的最小值为_________.

22. 设,若 且,则.

【对点训练22】函数f(x)的图象向左平移2个单位长度,所得图象与曲线关于直线 对称,若,且 则的最小值为________．

23.对数型函数的奇偶性是高考的一个热点,高考考查时常以以下几类函数为载体：

,,.

【对点训练23】已知函数,则（）.

A.             B.             C.           D.

跟踪检测

一、单选题

1．（2021山东省济南市实验中学高三二模）设,,,则,,的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

2.（2021江西省重点中学盟校高三第二次联考）科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级可定义为.2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏级地震,2020年1月1日四川自贡发生里氏级地震,则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（    ）倍．

A． B． C． D．

3.（2021陕西省宝鸡市高三5月预测题）设,,,则a,b,c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

4.（浙江省宁波市高三下学期适应性考试）设,则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.（2021庆市高三模拟调研卷四）知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．12

6.（2021安徽省合肥市高三考前诊断）已知函数则使得成立的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7.（2021卓越高中千校联盟高考终极押题）设正数,,满足,则下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

8.（2021. 全国高考临门一卷）已知函数,其中且,,,则和的值一定不会是（    ）

A．和 B．-3和4

C．3和-1 D．和

9．（2021全国100所名校2021年高考冲刺卷）已知,则（    ）

A． B．

C． D．

10.（2021江苏省南通市高三5月四模）我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”,操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“,”2种叠加态,2个超导量子比特共有“,,,”4种叠加态,3个超导量子比特共有“,,,,,,,”8种叠加态,…,只要增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态,则是一个（    ）位的数.(参考数据：)

A．18 B．19 C．62 D．63

11.（2021浙江省嘉兴市高三4月教学测试）若正实数,满足,则（    ）

A． B． C． D．

12．（2021河南省实验中学高三下学期第四次模拟）已知不相等的两个正实数x,y满足,则下列不等式中不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

13．（2021辽宁省高三高考压轴试卷）设函数,则（    ）

A．的图象关于直线对称

B．在上单调递减

C．若且时,

D．关于的方程恒有个不同的实根

14.（2021江苏省泰州市高三下学期考前练）已知,若函数有两个零点,有两个零点,则下列选项正确的有（    ）

A． B． C． D．

15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（    ）

A．

B．时,单调递增

C．关于点对称

D．时,方程的所有根的和为

16.（2021高考冲刺金卷）设函数满足：①；②；③．当时,函数与函数交点的横坐标从左到右依次构成数列,则下列结论正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．函数是偶函数

C．对任意的,,数列的前项和

D．当,时,满足的的最小值为17

17．（2021山东省临沂市高三二模）若,,,则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

18．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）设为正项等比数列(公比)前项的积,若,则__________

19．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）已知函数,则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.

20．（2021福建省莆田高三二模）如图,已知过原点O的直线与函数的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数图象交于C,D两点,若轴,则四边形ABDC的面积为___________.

21．（2021西南名校联盟高三下学期4月适应性考试）已知函数,则单调递增区间为__________；若函数在区间上单调,则a的取值范围为__________．

四、解答题

22．（2021山西省上海市格致中学高三三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数,经换算后,a、b、x都是大于1的实数,当时,该地区收入均衡性最为稳定.

（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明）,并说明其实际意义,经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？

（2）要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.

23．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第一次适应训练）已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若,求证：.

24．已知,函数．

（1）当时,解关于x的不等式f（x）＞0；

（2）设a＞0,若对任意t∈[,1],函数f（x）在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1,求实数a的取值范围．