清单 08指数与指数函数（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

清单08 指数与指数函数

知识与方法清单

1.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：①必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；②运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减；③当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数；④运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数．

2.正确区分与：①表示的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,,但其值受n的奇偶性的限制,当n为大于1的奇数时,=a,当n为偶数时,=；②表示的n次幂,当n为奇数时,=a,,当n为偶数时,=.

【对点训练2】若有意义,则x的范围是      

3.为使开偶次方根时不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,去绝对值符号时要结合条件来分类讨论.

【对点训练3】是的(   )

1. 充分不必要条件                  B.必要不充分条件

C. 充要条件                        D.既不充分也不必要条件

4.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：①,②,③,④,⑤.

5.已知(且),则.

【对点训练5】已知,且,则

________．.

6.根据指数式求值要重视整体代换及方程思想的应用.

【对点训练6】若,则________．

7.若(且),则,,

【对点训练7】已知点都在指数函数图象上,则下列各点一定在图象上的是(   )

1. B. C.   D.

8. (且)的图象与的图象关于y轴对称.

【对点训练8】（2021吉林省长春市高三四模）如图,①②③④中不属于函数,,的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

9.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y＝ax,(2)y＝bx,(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,要比较底数a,b,c,d与1之间的大小,可作直线,由直线与四个图象交点的上下位置关系可得c>d>1>a>b.由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大．

【对点训练9】（2021北京市精华学校高三三模）已知实数满足等式,下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

10.(且)的图象经过定点,的图象经过定点.

【对点训练10】（2021四川省雅安市2021届高三三模）函数的图象恒过定点A,若点A在双曲线上,则的最大值为 （    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

11.指数函数的单调性取决于底数a的大小,若,指数函数单调递减；若,指数函数单调递减；若指数函数的底数a为参数,解题时通常分和进行分类讨论．

【对点训练11】已知且,若函数的图象恒过定点,且指数函数在上是减函数,则实数a的取值范围是________．

12.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函

数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比

较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于

三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一

类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.

【对点训练12】（2021山东省青岛市高三三模）已知,则的大小关系正确的为（    ）

A． B．

C． D．

13.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称.

【对点训练13】若方程有两个不同的实根,则实数a的取值范围是________．

14.形如若(且,)的函数的性质

若(且,),则的定义域为,当时

在上是减函数,在上是增函数,的值域为；当时在上是增函数,在上是减函数,的值域为.

【对点训练14】函数在上是减函数,则实数a的取值范围是________．

15. 形如(且,)的函数的性质

若(且,),则的定义域为,当时的单调性与的单调性一致,当时的单调性与的单调性相反；当或时的值域为；当或时的值域为；的图象关于直线对称.

【对点训练15】若的图象关于直线对称,则的值域为________．

16.研究函数的性质通常采用换元法转化为二次函数进行研究.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.

【对点训练16】求函数的值域.

17.求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察是型,还是型,前者的定义域受的定义域的影响,后者的定义域与的定义域相同,而求型的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).

【对点训练17】若,求函数的定义域.

18.指数不等式的解法

⑴若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为；

⑵若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为.

【对点训练18】若不等式解集为R,且不等式的解集为       

19.给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围.

【对点训练19】已知函数的定义域和值域都是,

则________．

20.指数型函数的奇偶性是高考考查的一个热点,且常以以下函数为生长点：, (a>0且a≠1).

【对点训练20】（2021宁夏银川市高三二模）已知函数（    ）

A．是偶函数,且在单调递增 B．是奇函数,且在单调递减

C．是偶函数,且在单调递减 D．是奇函数,且在单调递增

21.根据题中所给指数式的特点,构造指数型函数,然后利用指数型函数的性质解题,这是函数思想的应用.

【对点训练21】（2021湘豫名校高三5月联考）设实数,满足,,则,的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法比较

跟踪检测

一、单选题

1．（2021陕西省西安地区八校高三下学期联考）已知,则（    ）

A．120 B．210 C．336 D．504

2.（2021山西省太原市高三三模）已知实数,满足,,则下列正确的结论是（    ）

A． B．

C． D．

3.（2021浙江省绍兴市2高三3月适应性考试）已知,且．若,则（    ）

A． B． C． D．

4.函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5.（2021陕西省宝鸡市高三下学期适应性训练）已知函数,则（    ）

A． B．

C．4 D．4042

6.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京年冬奧会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时.

A． B． C． D．

7.（2021全国100所名校高考冲刺卷）已知,则（    ）

A． B．

C． D．

8.（2021. 内蒙古乌兰察布高三一模）已知,则以下命题：①；②；③.正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．（2021. 湖南省长沙市四大名校名高三下学期猜题卷） 镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,,．则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（    ）

A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学

C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学

10.（2021北京市海淀区高三二模）已知指数函数,将函数的图象上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的倍,得到函数的图象,再将的图象向右平移个单位长度,所得图象恰好与函数的图象重合,则a的值是（    ）

A． B． C． D．

11.（2021辽宁省沈阳市高三三模）已知,则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

12．已知,若,则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不确定

二、多选题

13．（2021山东省潍坊市高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（    ）

A． B．

C． D．

14.（2021山东省济南市高三二模）已知函数,则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为减函数

C．有且只有一个零点 D．的值域为

15．（2021湖南省常德市高三下学期一模）下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

16.若函数,则下述正确的有（    ）

A． 在R上单调递增 B．的值域为

C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称

17．若实数,,满足,其中,则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

18．（2021福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”高三三校联考）已知实数,且,,,则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

19．（2021北京市延庆区高三模拟考试）同学们,你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上,两根电线杆之间的电线；峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为（其中,是非零常数,无理数…）,对于函数以下结论正确的是______．

①如果,那么函数为奇函数；

②如果,那么为单调函数；

③如果,那么函数没有零点；

④如果那么函数的最小值为2．

20．若存在实数,使得函数在上的值域是,则实数a的取值范围是________．

21．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）已知函数

（1）若,则函数的零点是________；

（2）如果函数满足对任意,都存在,使得,称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中,为函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）

四、解答题

22．（2021上海市青浦高级中学高三三模）已知函数.

（1）设是图象上的两点,直线斜率存在,求证：；

（2）求函数在区间上的最大值.

23．（2021豫南九校高三上期教学指导卷）已知函数的图象关于原点对称.

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.

24．已知函数,函数．

（1）若函数的图象过点,求m的值；

（2）在（1）的条件下,求函数在区间上的最小值；

（3）若对,都存在,使得,求m的取值范围．