专题04 代数式的有关概念和性质（知识点考点大串讲）-2021-2022学年七年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

专题04  代数式的有关概念和性质（知识点大串讲）

◉知识点一、代数式的定义

1、代数式的概念

（1）定义：用基本的运算符号(指加,减,乘,除,乘方以及以后要学的开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。数的一切运算规律也适用于代数式。

（2）相关运算律：

①加法交换律：a+b=b+a

②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c）

③乘法交换律：ab=ba

④乘法结合律：(ab)c=a(bc)

⑤分配律：a(b+c)=ab+ac

2、代数式书写规范：

①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；

②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示.；一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；

③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；

④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；

⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；

⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.

3、列代数式

（1）定义：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫做列代数式

（2）列代数式：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系；②理清语句层次明确

运算顺序；③牢记一些概念和公式．

4、代数式的值

定义：用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的计算,计算出的结果就叫做代数式的值

◎考点1 代数式的判断及书写

例1.（2021·江苏射阳初二期中）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　）

A．x B．y C． D．

例2.（2019·全国初一课时练习）某商品进价为每件a元，商品按进价提高40%作为零售价销售，在销售旺季过后，又打八折开展促销，求促销时每一件商品的售价．

例3.（2021·宿迁市钟吾国际学校初一期中）某市为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按2元/吨收费：超过10吨的部分按2.5元/吨收费．

(1)若王老师家5月份用水8吨，问应交水费多少元？

(2)若王老师家6月份交水费25元，问黄老师家6月份用水多少吨？

(3)若王者师家7月份用水a吨，问应交水费多少元？(用a的代数式表示)

练习1.（2021·全国初一课时练习）某学校七年级有m人，八年级人数比七年级人数的多10人，用含m的式子表示八年级的人数为（    ）

A． B． C． D．

练习2.（2021·广西桂林初一期末）把方程改写为用含的代数式表示的形式为（   ）

A． B．

C． D．

练习3.（2019·全国初一课时练习）下列代数式：(1)； (2)ab÷c2；(3) ；(4) ；(5)2x(a+b)；  (6)ab·2，符合代数式书写要求的有几个（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

练习4.（2018·浙江初一课时练习）下列表述中，字母各表示什么？

（1）有一条边长为4的三角形的面积为2b；

（2）高为40的圆柱的体积是20S；

（3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元．

练习5.（2018·浙江初一课时练习）某音像公司对外出租学习光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天共收费0.8元，以后每天收费0.3元．

（1）一张光盘在出租4天后共收费多少元？

（2）一张光盘在出租n(n>2且为整数)天后共收费多少元？

练习6.下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来．

(1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2·y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b．

◎考点2 代数式的求值

例1.（2021·全国初一课时练习）当x=1，y=﹣2时，代数式2x+y﹣1的值是（　　）

A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1

例2.（2021·甘肃肃州初一期末）若时的值为6，则当时的值为(    )

A．-6 B．0 C．6 D．26

练习1、（2018·河南汝阳初二期末）已知 a+b=3，ab = 2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值．

练习2.（2019·全国初一课时练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，试求：x2-(a+b+cd)x+(a+b)2014+(-cd)2015的值．

练习3.（2021·全国初一课时练习）已知互为倒数，互为相反数，，求

◉知识点二、单项式

1、单项式的概念

定义：由数或字母的乘积组成的式子叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式

备注：单项式中只含有乘法或乘方运算,不含加减运算，例如像310x,mn,-n,3等都是单项式

2、单项式的系数、次数

（1）单项式的系数

  定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

备注：单项式的系数包括它前面的符号；单项式表示数与字母相乘时,通常把数写在前面

例如：单项式100t,a2k,-n的系数分别是100,1

（2）单项式的次数

  定义：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；对于单独一个非零的数，规定它的次数为零；例如在单项式100m中，字母m的指数是1，100m的次数是1；在单项式a2h中，字母a与h的指数的和是3，a2h的次数是3

备注：(1)单项式可以是数和数的积，可以是数和字母的积，也可以是字母和宇母的积

(2)因为π是常数，所以是单项式

◎考点3 单项式的判断

例1.（2021·山东泗水初一期中）在代数式3、4+a、a2﹣b2、 、中，单项式的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个．

练习1.（2018·全国初一课时练习）下列说法正确的是(　   　)

A．a是代数式，1不是代数式

B．表示a，b，2的积的代数式为2ab

C．代数式的意义是a与4的差除b的商

D．是二项式，它的一次项系数是

练习2、（2021·全国初一课时练习）在﹣0.3x2y，0，，﹣2abc2，，，中单项式的个数有_____个．

练习3、（2019·河南商丘初一期中）下列各式：、、、、、、，其中整式有__________个，单项式有__________个．

◎考点4 单项式的系数、次数

例1.（2021·重庆璧山初一期中）单项式的系数与次数分别为（　　）

A．，7 B．π，6 C．4π，6 D．π，4

练习1.（2021·全国初一课时练习）下列关于单项式的说法中，正确的是（    ）

A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是2

C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是3

练习2.（2019·全国初一课时练习）判断下列各式是否是单项式，如果不是，请简单说明理由；如果是，请指出它的系数和次数.

(1)；(2)；(3)；(4).

练习3、（2021·全国初一课时练习）若是一个六次单项式，则m的值是______．

◉知识点三、多项式

1、多项式的相关概念

 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式

 （2）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项

      例如多项式V-2.5的项是V与-2.5,其中-2.5是常数项；

多项式x2+2x+18的项是x2，2x与18，其中18是常数项

  （3）多项式的次数

定义：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，如32x3－2x5y3＋6x2y4中，－2x5y3这一项的次数最高,这个多项式的次数就是5+3=8,这个多项式就是八次三项式。

（4）排列：有时为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某个字母的指数大小顺序来排列。

例如：把多项式x3＋5x＋4y2－2x2－1按字母x指数从大到小的顺序排列,写成x3－2x2＋5x＋4y2－1，这叫做把多项式按字母x的降幂排列,若按x指数从小到大排列,则就是把多项式按字母x的升幂排列,写成－1＋4y2＋5x－2x2＋x3，也可以是多项式中的其他字母。

◎考点5 多项式的判断

例1.（2021·全国初一课时练习）对于式子，下列说法正确的是（    ）

A．有5个单项式，1个多项式

B．有3个单项式，2个多项式

C．有4个单项式，2个多项式

D．有7个整式

练习1.（2021·全国初一课时练习）下列式子中不是多项式的是（    ）

A． B． C． D．

练习2.（2019·浙江杭州�初一期中）代数式：①-x；②x2+x-1；③；④；⑤；⑥πm3y；⑦；⑧．

（1）请上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：

（2）其中次数最高的多项式是__________次_________项式；

（3）其中次数最高的单项式的次数是____________，系数是____________．

练习3、（2019·吉林伊通初一期末）在式子：中，其中多项式有____个．

练习4、（2019·四川朝天初一期中）在代数式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中单项式有________；多项式有________；整式有________．

◎考点6 多项式的项、项数、次数

例1.（2021·全国初一课时练习）代数式是（     ）

A．二次三项式 B．三次三项式 C．三次四项式 D．四次四项式

例2.（2021·山东泗水初一期中）多项式4x3﹣3x2y4+2x﹣7的项数与次数分别是（　　）

A．4，9 B．4，6 C．3，9 D．3，10

例3.（2019·湖北黄石港黄石十四中初一期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）

①x-7;②;③4ab;④;⑤;⑥y;⑦;⑧;⑨;⑩;⑪;⑫;⑬-1.

单项式集合_______________；

多项式集合_______________；

整式集合_______________

练习1.（2021·重庆璧山初一期中）下列说法正确的是(      )

A．-5不是单项式 B． 一定是负数

C．是二次三项式 D．的系数是2

练习2.（2021·全国初一课时练习）多项式x2y2-2xy4-5的次数和常数项分别为（    ）

A．4，5 B．5，－5 C．8，5 D．9，－5

练习3.（2021·全国初一课时练习）若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ）

A． B． C． D．

练习4.（2021·绵竹市孝德中学初一期中）已知多项式－x2 ym +1＋xy2－3x3－6是六次多项式，单项式3x2n y5-m的次数也是6，求m－的值．

练习5、（2021·全国初一课时练习）已知多项式－x2ym＋1＋xy2－3x3＋6是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2＋n2的值．

◎考点7 多项式系数中字母求值

例1.（2019·渝中重庆市大坪中学初一期中）若关于x，y的多项式是三次三项式， 则m等于（     ）

A．-1 B．0 C．1 D．±1

例2.（2019·江西高安初一期中）已知关于的整式．

（1）若此整式是单项式，求的值；

（2）若此整式是二次多项式，求的值；

（3）若此整式是二项式，求的值．

练习1.（2019·河南邓州初一期中）已知多项式是六次多项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值．

练习2、（2021·宿迁市钟吾初级中学初一期中）已知5x2y|m|-y+3是四次三项式，则m=______．

练习3、（2021·河北三河初一期末）在a2+（2k﹣6）ab+b2+9中，不含ab项，则k=_____．

练习4、（2021·全国初一课时练习）若关于x的多项式不含x的二次项，则_____．

◎考点8 多项式指数中字母求值

例1.（2021·全国初一课时练习）如果关于的多项式与多项式的次数相同，则=_________.

练习1、（2021·全国初一课时练习）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是_________．

练习2、（2021·四川绵阳中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．

◎考点9 将多项式按某个字母升幂（降幂）排序

例1、（2019·陕西合阳初一期中）已知多项式．

(1)把这个多项式按的指数从小到大的顺序重新排列

(2)请指出这个多项式的次数，并写出这个多项式的项

例2、（2021·全国初一课时练习）把多项式x3﹣7x2y＋y3﹣4xy2＋1按x的升幂排列为___________

练习1、（2019·河南桐柏初一期中）已知是常数，且多项式是五次四项式．

（1）求m、n的值；

（2）将这个多项式按字母x的降幂排列．

练习2、（2019·陕西镇巴初一期末）已知多项式

（1）把这个多项式按的降冥重新排列；

（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．

练习3、（2019·河南偃师初一期中）把多项式按字母a的升幂排列得____________________．