2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线方程得斜率，再得倾斜角．

【详解】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于且不大于，所以倾斜角为．

故选：A．

2．已知空间向量，，若，则实数的值是（       ）．

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，因此有.

故选：C

3．设函数在R上可导，则（     ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据极限的定义计算．

【详解】由题意．

故选：B．

4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.

【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；

再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，

之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．

故选C．

【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.

5．等差数列的前项和，若，则

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【解析】【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

【解析】等差数列的性质.

6．直线与圆的位置关系是（     ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

【答案】B

【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.

【详解】直线恒过定点，

而，故点在圆的内部，

故直线与圆的位置关系为相交，

故选：B.

7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量运算求得正确答案.

【详解】.

故选：B

8．设函数，，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据导数得出在的单调性，进而由单调性得出大小关系.

【详解】因为，所以在上单调递增.

因为，所以，而，所以.

因为，且，所以.

即.

故选：A

二、多选题

9．若，方程表示的曲线可以是（     ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

【答案】ACD

【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断；

【详解】解：当，即时，，得表示垂直轴的直线，故A正确；

当时，，方程表示椭圆，故C正确；

当时，，方程表示双曲线，故D正确；

故选：ACD.

10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

11．已知函数，下列说法正确的有（     ）

A． B．只有一个零点

C．有两个零点 D．有一个极大值点

【答案】BD

【分析】根据解析式得出；由判断BC；由导数判断D.

【详解】，故A错误；，即函数只有一个零点，故B正确，C错误；，，，即函数在上单调递增，在上单调递减，即有一个极大值点，故D正确；

故选：BD

12．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(       )

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【分析】对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；

对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；

对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；

对于D，利用反证法判断．

【详解】对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；

对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，

∵，，∴平面∥平面．

又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；

对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，

∵，分别为，的中点，∴，

∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．

∵，∴，即，∴

又，∴即，，

∴等腰△的高，梯形的高为，

∴梯形的面积为，故选项C正确；

对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，

连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．

故选：BC﹒

三、填空题

13．双曲线 的离心率为__________．

【答案】

【详解】∵双曲线的方程为

∴，

∴

∴

故答案为

14．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.

【答案】0

【分析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.

【详解】解：因为，

所以求导得，

所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,

故答案为：.

15．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.

【答案】3

【分析】根据抛物线的定义可求最小值.

【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，

则，当且仅当共线时等号成立，

故的最小值为3，

故答案为：3.

四、双空题

16．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）

【答案】     6；     .

【分析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论．

【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，

由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，

即

所以．

故答案为：6；．

五、解答题

17．（1）求函数的单调区间.

（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.

【答案】（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；

（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得．

【详解】（1）解：的定义域为R，

，

，解得，.

当或时，，

当时，.

所以的单调减区间为和，单调增区间为.

（2）证明：在直线a上取非零向量，

因为，所以是直线l的方向向量，

设是平面的一个法向量，因为，所以.

又，所以.

18．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.

(1)求圆M的方程；

(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；

（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.

(1)

解：设圆M的方程为，则圆心

依题意得，解得.

所以圆M的方程为.

(2)

解：设，，依题意得，得.

点为圆M上的动点，得，

化简得P的轨迹方程为.

19．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）

(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；

(2)将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；

(3)求的值（精确到1）.

【答案】(1)

(2)

(3)10626

【分析】（1）根据题意，建立递推关系即可；

（2）利用待定系数法求解得.

（3）利用等比数列求和公式，结合已知数据求解即可.

(1)

解：因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，

所以，且.

(2)

解：将化成，

因为

所以比较的系数，可得，解得.

所以（1）中的递推公式可以化为.

(3)

解：由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，

则.

所以.

20．如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点.

(1)求证：E，F，G，H，K，L共面：

(2)求证：平面EFGHKL；

(3)求与平面EFGHKL所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标；

（1）用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面；

（2）利用向量的数量积的坐标运算证明，即可；

（3）确定平面EFGHKL的一个法向量，利用空间角度的向量计算公式求得答案.

(1)

证明：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2.

则，，，，，，，.

可得，，，，，.

可得，，，，，

所以，，，，共面，又它们过同一点E,

所以E，F，G，H，K，L共面.

(2)

证明：由（1）得，，

又

故，，又，

所以平面LEF，即平面EFGHKL.

(3)

由（2）知，是平面EFGHKL的一个法向量，

设与平面EFGHKL所成角为，

，,

.

所以,

所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为.

21．如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.

【答案】(1)

(2)不一定共线，理由见解析

【分析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；

（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.

(1)

由题意得，，

设，，

代入椭圆C的方程得，

，可得.

可得.

由，，所以∽△BOA，

所以，即，可得.

又，，得.

所以椭圆C的方程为.

(2)

当轴时，，设，，

则

由已知条件和方程，可得，

整理得，，

解得或.

由于，所以当时，点M，，N共线；

所以当时，点M，，N不共线.

所以点M，，N不一定共线.

22．已知函数， .

（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；

（2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；

（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，

即；

（2）当时，恒成立,等价于,

令,.则，

令，解得：；令，解得：；

所以在上单减，在上单增，

所以,所以.

即实数a的取值范围为.