2023届广东省梅州市高三二模数学试题含解析

2023届广东省梅州市高三二模数学试题

一、单选题

1．已知复数，，且为纯虚数，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用共轭复数及复数乘法运算求出a值，再求出复数模作答.

【详解】复数，，则，

依题意，，解得，即，

所以.

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.

【详解】集合，即，

，则，所以.

故选：B

3．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.

【详解】令，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

，

所以函数在区间上有唯一零点，

所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.

故选：B.

4．把正整数按下图所示的规律排序，则从2021到2023的箭头方向依次为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，所以确定2021到2023的箭头方向可以把2021除以4余数为1，由此可以确定2021的位置和5的位置相同，然后就可以确定从2021到2023的箭头方向．

【详解】∵1和5的位置相同，

∴图中排序每四个一组循环，

∵2021除以4余数为1，

∴2021的位置和5的位置相同，

∴2021到20232的箭头方向依次为A选项所示.

故选：A．

5．已知函数，且，当ω取最小的可能值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，根据，求得，然后根据在时取得最大值，求得的值．

【详解】由题意可知，

当取最小值时，最小正周期最大，，

所以，

而在时取得最大值，故，

则，又，所以．

故选：D.

6．若直线l：将圆C：分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令直线与圆交于点，根据已知求出，进而求出点到直线的距离作答.

【详解】令直线与圆交于点，依题意，，而圆的圆心，半径，

，因此点到直线的距离，于是，

整理得，所以直线的斜率.

故选：D

7．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：

由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ）A． B． C．              D．

【答案】B

【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解.

【详解】因为，

所以，

即经验回归方程，

当时，，

所以，

即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，

故选：B

8．设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果.

【详解】因为，所以，得到，

令，所以，

则为奇函数，且，

又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，

又，所以，即，

所以，即.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的既不充分也不必要条件

B．命题“，”的否定是“，”

C．若，则

D．的最大值为

【答案】AD

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用对数函数单调性求出最值判断D作答.

【详解】对于A，“若，则”是假命题，因为，而；“若，则”是假命题，

因为，而，即“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；

对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

因此它的否定是“，”，B错误；

对于C，当时，成立，因此成立，不一定有，C错误；

对于D，函数的定义域为，，

而函数在上单调递增，因此当时，，D正确.

故选：AD

10．已知向量，，，则下列命题正确的是（    ）

A．当且仅当时， B．在上的投影向量为

C．存在θ，使得 D．存在θ，使得

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量的坐标运算判断C；利用数量积的运算律结合坐标运算判断D作答.

【详解】向量，，，

对于A，，A正确；

对于B，因为，则在上的投影向量为，B正确；

对于C，，假定存在θ，使得，则有，

而，即不成立，因此不存在θ，使得，C错误；

对于D，，即，

则，因此存在θ，使得，D正确.

故选：ABD

11．已知函数，则（    ）

A．是一个最小正周期为的周期函数

B．是一个偶函数

C．在区间上单调递增

D．的最小值为，最大值为

【答案】BC

【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；求得，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，

，

所以，函数为周期函数，且该函数的最小正周期不是，A错；

对于B选项，对任意的，。

所以，函数为偶函数，B对；

对于C选项，当时，，

，

令，则，因为函数在上单调递减，

函数在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，C对；

对于D选项，，

因为，令，，

则二次函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，

又因为，，所以，，

因此，的最小值为，最大值为，D错.

故选：BC.

12．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ）

A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为

C．的最小值为 D．当平面CEP时，

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.

【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，则点，

对于A，，，，而，

显然，即是平面的一个法向量，

而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；

对于B，，则，

因此当时，取得最小值，B正确；

对于C，，

于是，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，取的中点，连接，如图，

因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，

连接，连接，连接，显然平面平面，

因此，平面，平面，则平面，

即有，而，所以，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.

三、填空题

13．已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数____________．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】函数，求导得：，，而，

因此函数的图象在处的切线方程为：，

令，得，于是，解得，

所以.

故答案为：

14．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为______

【答案】

【分析】有圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的木现场，求出圆锥的底面半径和高，由圆锥的体积公式求解即可.

【详解】解：由题意得：

半径为的半圆弧的周长为

圆周的底面周长为：

扇形围成的底面圆周的半径为，母线长为2，

故圆锥的体积为：

故答案为：

15．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为____________．

【答案】##

【分析】根据题意求出的值，然后利用离心率公式即可求得该椭圆的离心率的值.

【详解】设圆柱的底面半径为，

因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，

则，，即，

因此，该椭圆的离心率为.

故答案为：.

四、双空题

16．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则

（1）取到次品的概率为____________；

（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．

【答案】     ##    

【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率.

【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,

，，，

设任取一件产品，取到的是次品为事件，

则

如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为

,

故答案为：，

五、解答题

17．已知数列满足，，且数列是公比为2的等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)令，数列是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．

【答案】(1)；

(2)有最大项，.

【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用累加法求出的通项作答.

（2）利用（1）的结论求出，再探讨数列的单调性作答.

【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，则,

当时，

，又也满足上式，

所以的通项公式为.

（2）由（1）知，，则，

则有，当时,，则有，

当时，，即有，数列是递减的，

所以数列有最大项，为.

18．如图，在平面四边形ABCD中，，，，设．

(1)当时，求BD的长；

(2)求BD的最大值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）在中，求得，然后在中，由余弦定理求解即可；

（2）在中，求得，然后在中，由余弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解的最大值.

【详解】（1）在中，．

在中，因为，由余弦定理得，

，

因此．

（2）在中，．

在中，因为，由余弦定理得，

，

所以．

所以当，即时，BD最长，的最大值为．

19．如图，正三棱柱中，，点M为的中点．

(1)在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由：

(2)求点C到平面的距离．

【答案】(1)存在，；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答.

（2）利用（1）的结论，把所求距离转化为点到平面的距离求解作答.

【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则，

又平面， 平面，则有，

而平面，于是平面，

平面，则平面平面，在平面内过点作交于点，

平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，

显然，因此，即有，于是，，

所以.

（2）取的中点，连接，因为点为的中点，则，

于是为平行四边形，即，而平面，平面，

因此平面，有点到平面的距离等于点到平面的距离,

又为之中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半,

而由（1）知，当时,平面，，

设，则，

所以点C到平面的距离.

20．元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

(1)填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？

(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；

（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.

【详解】（1）补全的2×2列联表如下：

零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.

根据表中数据，计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.

（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，

则，，，

由题意，X可取．

，，

，，

，

所以X的分布列为：

.

21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出的值，利用双曲线的定义可求得的值，再根据可求得的值，即可得出双曲线的方程；

（2）设点、、，设，可得出，根据向量的坐标运算结合化简可得出关于、所满足的一元二次方程，即可证得结论.

【详解】（1）解：因为，则，

由双曲线的定义可得，

所以，，则，

因此，双曲线的方程为.

（2）证明：设点、、，

则，可得，

设，则，其中，

即，整理可得，

所以，，，

将代入可得，

将代入可得

，即，

所以，点恒在直线上.

【点睛】关键点点睛：本题考查点在直线的证明，解题的关键在于引入参数使得，将问题转化为向量的坐标运算来处理，然后通过不断消元来得出定直线的方程，从而达到证明结论的目的.

22．已知函数，其中．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)递减区间为，递增区间为；

(2).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助导数求出单调区间作答.

（2）构造函数并求出导数，再按分段讨论函数单调性，由此求出取得最小值1作答.

【详解】（1）当时，，函数的定义域为，

求导得，

显然函数在上单调递增，且，

因此当时,单调递减，当时,单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），令，求导得，

当时,，则在上单调递增，，满足题意，

当时，设，则，因此函数，即在上单调递增，

而，

(i)当时,在上单调递增，

于是，满足题意，

(ii)当，即时，对，则在上单调递减，

此时，不合题意，

（iii）当时，因为在上单调递增，

且，于是，使，且当时,单调递减，

此时，不合题意，

所以实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.