2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值（教师版含解析）练习题

第11讲 函数的单调性与最值

一、单调性概念及性质

1．单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)

2.单调区间的定义

如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．

3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;

②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；

③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；

④定论——根据符号下结论.

1.     判断函数单调性的方法：

（1）定义法；

（2）图像法；

（3）性质法：①与具有相同的单调性；

②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；

③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；

④当恒不为零时，与具有相反的单调性；

⑤当时，与具有相同的单调性．

例1.若函数的定义域为且满足，则函数在上为(     )

   A．增函数        B．减函数         C．先增后减        D．不能确定

【答案】D

例2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.

【答案】单调增区间：；单调减区间：

例3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.

（1）                  (2)

【答案】(1)单调递增；(2)单调递增.

【解析】(1)任取且，

则，

且，，

，即，

在上单调递增；

(2)任取且，

则，

且，，

，即，

在单调递增.

例4.研究函数的性质.

【答案】在和上单调递增，在和上单调递减.

【解析】的定义域为，

先研究在上的单调性，任取且，

则，

由于，

故当时，，即，

此时在上单调递增，

同理可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，在和上单调递增，

在和上单调递减.

例5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.

(1)            (2)           (3)  

【答案】(1)在上单调递减；

（2）在上单调递增；

（3）在上单调递增，在上单调递减.

【解析】(1)，定义域为，

所以在上单调递减；

(2)，增函数-减函数=增函数，定义域为，

所以在上单调递增；

(3)由可知

在上单调递增，在上单调递减.

二、函数最值

1. 函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：

①，都有；②，使得.那么称是的最大值.

2. 函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：

①，都有；②，使得.那么称是的最小值.

例6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.

【答案】最大值3，最小值.

例7.求下列函数的值域.

(1)               (2)

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)单调递增，所以，所以的值域为；

(2)单调递增，所以，，

所以的值域为.

例8. 

(1)    若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；

(2)    若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)函数的对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减，依题意，解得，

所以的取值范围为；

(2)依题意，解得，

所以的取值范围为.

例9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

【答案】.

例10.           已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．

【答案】

【解析】在上恒成立，

即在上恒成立，

又在上单调递减，所以，

所以的取值范围为.

例11.           若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)

A.            B.

C.             D.

【答案】B

【解析】，，

又在上是减函数，，故选B.

例12.           已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．

【答案】

【解析】定义域为，且在上是减函数，

，解得.

例13.           设函数，其中为常数.

（1）对任意，当时，，求实数的取值范围；

（2）在(1)的条件下，求在区间上的最小值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)依题意可知在上单调递增，

，解得，所以的取值范围是；

(2)，对称轴为，由(1)得，

当，即时，；

当，即时，，

综上所述，.

例14.           定义在上的函数满足，且当时，.

（1）求的值；

（2） 求证：；

（3） 求证：在上是增函数；

（4） 若，解不等式；

（5）比较与的大小.

【答案】(1)；(2)(3)见解析；(4)；(5).

【解析】(1)令得，解得；

(2)，；

(3)任取且，则，

由(2)得，即，

在上是增函数；

(4)由得，

由得，即，

又在上是增函数，，解得；

(5)，

，

且，

，

.

跟踪训练

1.     下列函数在区间上是增函数的是(    )

 A.            B.           C.              D.

【答案】A

2.     已知在区间是增函数，则实数的取值范围是(     )

 A.            B.             C.             D.

【答案】B

【解析】的对称轴为，

在区间是增函数，

，解得，选B.

3.     函数的图象的对称轴为直线，则  (     )

A.                B.

C.                 D.

【答案】B

【解析】的对称轴为，，

又在上单调递增，，选B.

(1)    若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.

(2)    若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)在上是减函数，

在上是增函数，，解得，故答案为：；

(2)在上为减函数，，故答案为：.

5.     求函数在区间上的值域是_______.

【答案】

【解析】在上单调递增，所以，，

所以在区间上的值域是.

(1)    函数在区间的最大值为4，则________.

(2)    若函数在上递增，在上递减，则   ___  .

(3)    已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.

【答案】(1)1；(2)25；(3).

【解析】

(1)当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得；

当时，数在区间上单调递减，最大值为，解得，舍去，

综上所述，；

(2)依题意得对称轴，解得，

，；

(3)易知在上单调递减，在上单调递增，

依题意得，所以的取值范围是.

7.     函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

【答案】；

【解析】，

的单调递增区间为，单调递减区间为.

8.     已知是定义在上的减函数，则应满足 (     )

 A.           B.           C.            D.

【答案】B

【解析】依题意得，解得，选B.

9.     若函数与在上都是减函数，则的取值范围是(    )

   A.       B.        C.         D.

【答案】D

【解析】在上单调递减，则；

在上是减函数，则，

综上，的取值范围是，选D.

10. 已知函数，若，则实数的取值范围是(   )

   A.    B.      C.      D.

【答案】C

【解析】

由函数图象(实线部分)可知在上单调递增，

若，若，解得，故选C.

11.  已知函数的值域为，则实数的取值范围是             .

【答案】

【解析】，易知在上单调递增，

在上单调递减，

由解得或5，

的值域为，，

所以的取值范围是.

12.  已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值；

（3）若为正常数，求的最小值.

【答案】(1)6；(2)；(3).

【解析】(1)当时，，

易知在上单调递减，在上单调递增，

；

(2)当时，，易知在上为增函数，

；

(3)在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时；

当，即时，在上单调递增，

此时，

综上所述，.

13. 利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．

【证明】任取且，

则，即，

在区间上是增函数．

14. 已知函数对任意，总有，且当时，

，.

(1)    求证：是上的减函数；

(2)    求是上的最大值和最小值.

【答案】(1)见解析；(2)2和.

【解析】(1)任取且，

则，

时，，且，，

则，即，

所以是上的减函数；

(2)由(1)知，且，

中令得，令得，

即，，

.

15. 设，当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】

【解析】，对称轴为，

要使时，恒成立，只需，

当时，，解得，又，；

当时，，解得，又，，

综上所述，的取值范围为.

16. 已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.

【答案】

【解析】由得，，

可化为，

又是定义在上的增函数，，解得.