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2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值(教师版含解析)练习题
展开第11讲 函数的单调性与最值
一、单调性概念及性质
1.单调性的概念(一般地,设函数的定义域为,区间.)
名称 | 定义 | 几何意义 | 图形表示 |
增函数 | 如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增. | 的图象在区间上呈上升趋势 | |
减函数 | 如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减. | 的图象在区间上呈下降趋势 |
2.单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间.
3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:
①设元——设是给定区间内的任意两个数,且;
②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负);
③判号——判断的正负,若符号不确定,则进行分类讨论;
④定论——根据符号下结论.
- 判断函数单调性的方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
(3)性质法:①与具有相同的单调性;
②与,当时单调性相同;当时,单调性相反;
③当,都是增(减)函数时,是增(减)函数;
④当恒不为零时,与具有相反的单调性;
⑤当时,与具有相同的单调性.
例1.若函数的定义域为且满足,则函数在上为( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不能确定
【答案】D
例2.函数在上的图像如图所示,请写出函数的单调区间.
【答案】单调增区间:;单调减区间:
例3.利用函数单调性的定义,判断并证明下列函数的单调性.
(1) (2)
【答案】(1)单调递增;(2)单调递增.
【解析】(1)任取且,
则,
且,,
,即,
在上单调递增;
(2)任取且,
则,
且,,
,即,
在单调递增.
例4.研究函数的性质.
【答案】在和上单调递增,在和上单调递减.
【解析】的定义域为,
先研究在上的单调性,任取且,
则,
由于,
故当时,,即,
此时在上单调递增,
同理可得在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
综上所述,在和上单调递增,
在和上单调递减.
例5.判断下列函数的单调性,并求其单调区间.
(1) (2) (3)
【答案】(1)在上单调递减;
(2)在上单调递增;
(3)在上单调递增,在上单调递减.
【解析】(1),定义域为,
所以在上单调递减;
(2),增函数-减函数=增函数,定义域为,
所以在上单调递增;
(3)由可知
在上单调递增,在上单调递减.
二、函数最值
- 函数最大值的概念:一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:
①,都有;②,使得.那么称是的最大值.
- 函数最小值的概念:一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:
①,都有;②,使得.那么称是的最小值.
例6.如图为函数的图像,指出它的最大值、最小值.
【答案】最大值3,最小值.
例7.求下列函数的值域.
(1) (2)
【答案】(1);(2)
【解析】(1)单调递增,所以,所以的值域为;
(2)单调递增,所以,,
所以的值域为.
例8.
(1) 若函数的单调减区间是,求实数的取值范围;
(2) 若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)函数的对称轴为,开口向上,
所以在上单调递减,依题意,解得,
所以的取值范围为;
(2)依题意,解得,
所以的取值范围为.
例9.已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围.
【答案】.
例10. 已知函数.若对任意,恒成立,试求的取值范围.
【答案】
【解析】在上恒成立,
即在上恒成立,
又在上单调递减,所以,
所以的取值范围为.
例11. 若函数的定义域为,且在上是减函数,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,,
又在上是减函数,,故选B.
例12. 已知函数是定义在区间上的减函数,解不等式.
【答案】
【解析】定义域为,且在上是减函数,
,解得.
例13. 设函数,其中为常数.
(1)对任意,当时,,求实数的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求在区间上的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)依题意可知在上单调递增,
,解得,所以的取值范围是;
(2),对称轴为,由(1)得,
当,即时,;
当,即时,,
综上所述,.
例14. 定义在上的函数满足,且当时,.
(1)求的值;
(2) 求证:;
(3) 求证:在上是增函数;
(4) 若,解不等式;
(5)比较与的大小.
【答案】(1);(2)(3)见解析;(4);(5).
【解析】(1)令得,解得;
(2),;
(3)任取且,则,
由(2)得,即,
在上是增函数;
(4)由得,
由得,即,
又在上是增函数,,解得;
(5),
,
且,
,
.
跟踪训练
- 下列函数在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
- 已知在区间是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的对称轴为,
在区间是增函数,
,解得,选B.
- 函数的图象的对称轴为直线,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的对称轴为,,
又在上单调递增,,选B.
(1) 若函数在上是减函数,则实数的取值范围是_______.
(2) 若函数在区间上为减函数,则实数的取值范围是_______.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)在上是减函数,
在上是增函数,,解得,故答案为:;
(2)在上为减函数,,故答案为:.
- 求函数在区间上的值域是_______.
【答案】
【解析】在上单调递增,所以,,
所以在区间上的值域是.
(1) 函数在区间的最大值为4,则________.
(2) 若函数在上递增,在上递减,则 ___ .
(3) 已知函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围是______.
【答案】(1)1;(2)25;(3).
【解析】
(1)当时,函数在区间上单调递增,最大值为,解得;
当时,数在区间上单调递减,最大值为,解得,舍去,
综上所述,;
(2)依题意得对称轴,解得,
,;
(3)易知在上单调递减,在上单调递增,
依题意得,所以的取值范围是.
- 函数的单调递增区间是________,单调递减区间是________.
【答案】;
【解析】,
的单调递增区间为,单调递减区间为.
- 已知是定义在上的减函数,则应满足 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意得,解得,选B.
- 若函数与在上都是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在上单调递减,则;
在上是减函数,则,
综上,的取值范围是,选D.
- 已知函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由函数图象(实线部分)可知在上单调递增,
若,若,解得,故选C.
- 已知函数的值域为,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】,易知在上单调递增,
在上单调递减,
由解得或5,
的值域为,,
所以的取值范围是.
- 已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,求的最小值;
(3)若为正常数,求的最小值.
【答案】(1)6;(2);(3).
【解析】(1)当时,,
易知在上单调递减,在上单调递增,
;
(2)当时,,易知在上为增函数,
;
(3)在上单调递减,在上单调递增,
当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
此时;
当,即时,在上单调递增,
此时,
综上所述,.
- 利用函数单调性的定义,证明函数在区间上是增函数.
【证明】任取且,
则,即,
在区间上是增函数.
- 已知函数对任意,总有,且当时,
,.
(1) 求证:是上的减函数;
(2) 求是上的最大值和最小值.
【答案】(1)见解析;(2)2和.
【解析】(1)任取且,
则,
时,,且,,
则,即,
所以是上的减函数;
(2)由(1)知,且,
中令得,令得,
即,,
.
- 设,当时,恒成立,求的取值范围.
【答案】
【解析】,对称轴为,
要使时,恒成立,只需,
当时,,解得,又,;
当时,,解得,又,,
综上所述,的取值范围为.
- 已知函数是定义在上的增函数,且,解不等式.
【答案】
【解析】由得,,
可化为,
又是定义在上的增函数,,解得.
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