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    2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值(教师版含解析)练习题
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    2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值(教师版含解析)练习题

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    这是一份2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值(教师版含解析)练习题,共18页。试卷主要包含了单调区间的定义等内容,欢迎下载使用。

    11 函数的单调性与最值

    一、单调性概念及性质

    1.单调性的概念(一般地,设函数的定义域为,区间.)

    名称

    定义

    几何意义

    图形表示

     

    增函数

    如果时,都有,那么就称函数在区间单调递增.

    的图象在区间上呈上升趋势

     

    减函数

    如果时,都有,那么就称函数在区间单调递减.

    的图象在区间上呈下降趋势

     

    2.单调区间的定义

    如果函数在区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间.

     

    3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:

    ①设元——设是给定区间内的任意两个数,且;

    ②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)

    ③判号——判断的正负,若符号不确定,则进行分类讨论;

    ④定论——根据符号下结论.

     

    1.     判断函数单调性的方法:

    (1)定义法;

    (2)图像法;

    (3)性质法:具有相同的单调性;

    ,当时单调性相同;当时,单调性相反;

    都是增()函数时,是增()函数;

    恒不为零时,具有相反的单调性

    时,具有相同的单调性.

     

     

    例1.若函数定义域为且满足则函数上为(     )

       A.增函数        B.减函数         C.先增后减        D.不能确定

    【答案】D

     

    例2.函数上的图像如图所示,请写出函数的单调区间.

    【答案】单调增区间:;单调减区间:

     

    例3.利用函数单调性的定义,判断并证明下列函数的单调性.

    (1)                  (2)

    【答案】(1)单调递增;(2)单调递增.

    【解析】(1)任取

    ,即

    上单调递增;

    (2)任取

    ,即

    单调递增.

     

     

    例4.研究函数的性质.

    【答案】在上单调递增,在上单调递减.

    【解析】的定义域为

    先研究上的单调性,任取

    由于

    故当时,,即

    此时上单调递增,

    同理可得上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,

    综上所述,上单调递增,

    上单调递减.

     

    例5.判断下列函数的单调性,并求其单调区间.

    (1)            (2)           (3)  

    【答案】(1)上单调递减;

    (2)上单调递增;

    (3)上单调递增,在上单调递减.

    【解析】(1)定义域为

    所以上单调递减;

    (2),增函数-减函数=增函数,定义域为

    所以上单调递增;

    (3)可知

    上单调递增,在上单调递减.

     

    二、函数最值

    1. 函数最大值的概念:一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:

    ,都有;②,使得.那么称最大值.

    1. 函数最小值的概念:一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:

    ,都有;②,使得.那么称最小值.

     

    例6.如图为函数的图像,指出它的最大值、最小值.

    【答案】最大值3,最小值.

     

    例7.求下列函数的值域.

    (1)               (2)

    答案】(1);(2)

    解析】(1)单调递增,所以,所以的值域为

    (2)单调递增,所以

    所以的值域为.


    例8. 

    (1)    若函数的单调减区间是,求实数的取值范围;

    (2)    若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围.

    答案】(1);(2).

    解析】(1)函数的对称轴为,开口向上,

    所以上单调递减,依题意,解得

    所以的取值范围为

    (2)依题意,解得

    所以的取值范围为.

     

    例9.已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围.

    答案.

     

    例10.           已知函数.若对任意恒成立,试求的取值范围.

    答案

    解析上恒成立,

    上恒成立,

    上单调递减,所以

    所以的取值范围.

     

    例11.           若函数的定义域为,且在上是减函数,则下列不等式成立的是(  )

    A.            B.

    C.             D.

    【答案】B

    【解析】

    上是减函数,故选B.

     

    例12.           已知函数是定义在区间上的减函数,解不等式

    【答案】

    【解析】定义域为,且在上是减函数,

    ,解得.

     

    例13.           设函数其中为常数.

    (1)对任意,当时,,求实数的取值范围;

    (2)在(1)的条件下,求在区间上的最小值.

    【答案】(1);(2).

    【解析】(1)依题意可知上单调递增,

    ,解得,所以的取值范围是

    (2),对称轴为,由(1)

    ,即时,

    ,即时,

    综上所述,.

     

     

    例14.           定义在上的函数满足,且当时,.

    (1)的值;

    (2) 求证:

    (3) 求证:上是增函数;

    (4) ,解不等式

    (5)比较的大小.

    答案】(1);(2)(3)见解析;(4);(5).

    解析】(1),解得

    (2)

    (3)任取,则

    由(2),即

    上是增函数;

    (4)

    ,即

    上是增函数,,解得

    (5)

    .

    跟踪训练

    1.     下列函数在区间上是增函数的是(    )

     A.            B.           C.              D.

    【答案】A

     

    1.     已知在区间是增函数,则实数的取值范围是(     )

     A.            B.             C.             D.

    【答案】B

    【解析】的对称轴为

    在区间是增函数,

    ,解得,选B.

     

    1.     函数的图象的对称轴为直线,则  (     )

    A.                B.

    C.                 D.

    答案B

    【解析】的对称轴为

    上单调递增,,选B.

     

    1.      

    (1)    若函数上是减函数,则实数的取值范围是_______.

    (2)    若函数在区间上为减函数,则实数的取值范围是_______.

    答案】(1);(2).

    解析】(1)上是减函数

    上是函数,解得,故答案为:

    (2)上为减函数,,故答案为:.

     

     

    1.     求函数在区间上的值域是_______.

    答案

    解析上单调递增,所以

    所以在区间上的值域.

     

    1.      

    (1)    函数在区间的最大值为4,则________.

    (2)    若函数上递增,在上递减,则   ___  .

    (3)    已知函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围______.

    答案】(1)1;(2)25;(3).

    解析

    (1)时,函数在区间上单调递增,最大值为,解得

    时,在区间上单调递减,最大值为,解得,舍去,

    综上所述,

    (2)依题意得对称轴,解得

    (3)易知上单调递减,在上单调递增,

    依题意得,所以的取值范围.

     

    1.     函数的单调递增区间是________,单调递减区间是________

    答案

    解析

    的单调递增区间为,单调递减区间为.

    1.     已知是定义在上的减函数,则应满足 (     )

     A.           B.           C.            D.

    答案B

    解析依题意得,解得,选B.

     

    1.     若函数上都是减函数,则的取值范围是(    )

       A.       B.        C.         D.

    答案D

    解析上单调递减,则

    上是减函数

    综上,的取值范围是,选D.

     

    1. 已知函数,则实数的取值范围是(   )

       A.    B.      C.      D.

    答案C

    解析

    由函数图象(实线部分)可知上单调递增,

    ,若,解得,故选C.

     

    1.  已知函数的值域为,则实数的取值范围是             .

    【答案】

    【解析】,易知上单调递增,

    上单调递减,

    解得5

    的值域为

    所以的取值范围是.

     

    1.  已知函数.

    (1)时,求的最小值;

    (2)时,求的最小值;

    (3)为正常数,求的最小值.

    【答案】(1)6;(2);(3).

    【解析】(1)时,

    易知上单调递减,在上单调递增,

    (2)时,,易知上为增函数,

    (3)上单调递减,在上单调递增,

    ,即时,上单调递减,在上单调递增,

    此时

    ,即时,上单调递增,

    此时

    综上所述,.

     

     

     

     

    1. 利用函数单调性的定义,证明函数在区间上是增函数.

    【证明】任取

    ,即

    在区间上是增函数.

     

    1. 已知函数对任意,总有,且当时,

    .

    (1)    求证:上的减函数;

    (2)    上的最大值和最小值.

    【答案】(1)见解析;(2)2.

    【解析】(1)任取

    时,,且

    ,即

    所以上的减函数

    (2)由(1),且

    中令,令

    .

     

    1. ,当时,恒成立,求的取值范围.

    答案

    解析,对称轴为

    要使时,恒成立,只需

    时,,解得,又

    时,,解得,又

    综上所述,的取值范围.

     

    1. 已知函数是定义在上的增函数,且,解不等式.

    答案

    解析

    可化为

    是定义在上的增函数,解得.

     

     

     

     

     

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