2020年初升高数学衔接课程 第8讲 基本不等式（教师版含解析）练习题
展开第8讲 基本不等式
- 基本不等式：对于任意的正实数，(当且仅当时，等号成立)
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
- 使用原则：
一正：一般要求同为正；
二定：或为定值；
三相等：当且仅当时，不等式取得等号.
例1.
(1) 已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？
(2) 已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？
【答案】(1)4；(2).
【解析】(1)设矩形长和宽分别为，依题意，
则，，当且仅当时取等号，
所以面积最大值为4；
（2）依题意，
则，当且仅当时取等号，
所以周长最小值为.
例2.
(1) 已知，求的最小值；
(2) 若，有最大值还是有最小值？
【答案】(1)2；(2)最大值.
【解析】(1)，，当且仅当，即取等号，
所以的最小值为2；
(2)，，，
当且仅当，即取等号，
所以的最大值为.
例3.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，当且仅当时取等号，即，
又，当且仅当时取等号，即，
所以，选D.
例4.
(1) 已知，则的最大值为 ；
(2) 已知，则的最大值为 .
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为；
(2)，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
例5.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.
【答案】没有考虑取等号的条件，上述不等式当且仅当，即时取等号，
而，显然无法取等号.
例6.设，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，即，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
例7.
(1) 已知，，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 ；
(3) 已知，，则的最小值为 .
【答案】(1)8；(2)；(3).
【解析】(1)由已知得，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8；
(2)由已知得，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
(3)由，得，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
例8.
(1) 设，若，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 .
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)，，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
(2)，，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
例9.
(1) 已知，若，则的最大值为 ；
(2) 已知，若，则的最小值为 .
【答案】(1)2；(2)6.
【解析】(1)，，
，当且仅当时取等号，
解得，
所以的最大值为2.
(2)，，当且仅当，即时取等号，
，
，
，，
所以的最小值为6.
例10.
(1) 已知，，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 .
【答案】(1)；(2)4.
【解析】(1)，，
，当且仅当，即时取等号，
，
，，
所以的最小值为.
(2)，，
，当且仅当，即时取等号，
，
，
，，
所以的最小值为4；
例11.
(1) 若，则的最小值为 ；
(2) 已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】(1)16；(2)C.
【解析】，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16；
(2)，且，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为5，选C.
例12. 证明下列不等式：
(1) ；
(2) 已知为正数且，求证：.
【证明】
（1），
当且仅当时取等号；
（2）为正数且，
，
当且仅当时取等号.
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- 已知，且，在下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一：，且，，
又，当且仅当时取等号，
，
最大，选D.
解法二：依题意可取，则，所以最大，选D.
- 已知，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.
- 已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】为直线第一象限上的点，
且，即，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
- 已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 .
【答案】16
【解析】，，
当且仅当，即时取等号，
所以，解得.
- 已知，且，则的最小值为 .
【答案】36
【解析】，，，
当且仅当，即时取等号，
，解得，即，
所以的最小值为36.
- 若实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
- 已知，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
- 已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，且，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
- 已知正数满足，那么的最小值为 .
【答案】
【解析】，，即，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
- 已知，则的最大值为 .
【答案】
【解析】，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最呆滞为.
- 当时，不等式的最小值为 .
【答案】6
【解析】，，设，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
- 已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.5
【答案】C
【解析】，且，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，选C.
- 已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，当且仅当时取等号，
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
- 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(空白部分)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.
（1）试用表示；
（2）若要使最大，则的值分别为多少？
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)依题意可得，
则，即，
；
(2)，
当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值1352.
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