专题05 二次函数的三种表示方式-初升高数学衔接必备教材（解析版）

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专题05二次函数的三种表示方式

高中必备知识点1：一般式

形如下面的二次函数的形式称为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

典型考题

【典型例题】
已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．
【解析】
（1）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）
9a﹣3b+c＝0

解得a＝1，b＝2，c＝﹣3
∴抛物线y＝x2+2x﹣3；
（2）∵点（m，k），（n，k）在此抛物线上，
∴（m，k），（n，k）是关于直线x＝﹣1的对称点，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（﹣n﹣2）2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根．

【变式训练】
抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)

【答案】
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3．

【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线.

（1）求抛物线的解析式（化为一般式）；
（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
【答案】(1) ;(2)4.
【解析】
（1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，
抛物线的解析式为；
（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，
抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.



高中必备知识点2：顶点式

形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(h，k)．

典型考题

【典型例题】
已知二次函数．
⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；
⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【答案】（1）；（2）（1，2），直线
【解析】
（1）





（2）∵
∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线.

【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．
【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
【解析】
∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），
∴设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a（1+1）2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．

【能力提升】
二次函数的图象经过点，，．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
【答案】（1）；（2）（1，-4）；（3）5
【解析】
（1）设，把点，，代入得
，解得
∴；
（2）∵
∴函数的顶点坐标为（1，-4）；
（3）∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．


高中必备知识点3：交点式

形如下面的二次函数的形式称为交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

典型考题

【典型例题】
已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．
【答案】（1）k＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.
【解析】
（1）∵图象与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ 解得
（2）∵k 为正整数，
∴k=1．
∴
令 y=0，得 解得
∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.

【变式训练】
已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.
(1)求抛物线与x轴两交点坐标；
(2)求抛物线的解析式．
【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.
【解析】
(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，
∴点A、B到直线x=-2的距离为3，
∴A为（-5，0），B为（1，0）；
(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，
∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.
【能力提升】
已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【解析】
（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图象如图：

由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
专题验收测试题
1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1
【答案】B
【解析】
解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．
故选：B．
2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】A
【解析】
解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解析】
∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，
∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，
解得：k1＝1，k2＝﹣2，
当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，
则k的值为：﹣2．
故选：D．
4．已知二次函数为常数，且），（ ）
A．若，则的增大而增大；
B．若，则的增大而减小；
C．若，则的增大而增大；
D．若，则的增大而减小；
【答案】C
【解析】
解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．
由a＜0得，-＞0．
∴-＞-1．
又∵a＜0
∴抛物线开口向下．
故当x＜-时，y随x增大而增大．
又∵x＜-1时，则一定有x＜-．
∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．
故选：C．
5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
【答案】B
【解析】
解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；
B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；
D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（　　）
A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4
【答案】A
【解析】
，
当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得
.
故选A．
7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．12
【答案】B
【解析】
y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．
故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．
所以a＝b＝1，c＝3．
所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．
故选B．
8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（　　）
A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
【答案】B
【解析】
∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，
∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，
则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．
故选：B．
9．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）．
A．开口向上 B．与轴只有一个交点
C．对称轴是直线 D．当时，的增大而增大
【答案】B
【解析】
解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；
B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；
D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．
故选：B．
10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2
【答案】D
【解析】
将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．
故选D．
11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．
【答案】
【解析】
解：将A、O两点坐标代入解析式得：
，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为：y=.
12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．
【答案】-1
【解析】
解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，
∴a2-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为-1．
故答案为：-1．
13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．
【答案】y=（x-2）2+1
【解析】
解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，
故答案为：y=（x-2）2+1．
14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【解析】
抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．
故答案为：y＝2（x+3）2+1
15．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x2 的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1< -2， 0< x2 <2 ，则 y1 ____ y2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接）
【答案】>
【解析】
解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，
而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，
所以y1＞y2．
故答案为：＞．
16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；     ；      ；    ；    ．你认为其中正确信息的个数有______．

【答案】
【解析】
解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，
抛物线与y轴交于正半轴，则，
所以，
故错误；
如图所示，当时，，所以，
故正确；
对称轴，
，则
如图所示，当时，，
，
，
故正确；
如图所示，当时，，
故错误；
综上所述，正确的结论是：．
故答案是：．
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．
（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若y＝1时，自变量x有唯一的值，求二次函数的解析式．
【答案】（1）（2）y＝﹣x2﹣4x﹣3和y＝﹣x2﹣16x﹣63．
【解析】
解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x＝，
∵a＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下，
∵x＜0时，y随x的增大而增大，
∴≥0，
解得m≥，
（2）由题意可知，二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣）2+1，
∵二次函数的图象经过点（m﹣2，0），
∴0＝﹣（m﹣2﹣）2+1，
解得m＝﹣1和m＝﹣5，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3和y＝﹣x2﹣16x﹣63．
18．设二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0），且2a+b＝3．
（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；
（2）y1的图象始终经过一个定点，若一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，a满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在函数y1的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）y＝3x2﹣3x﹣2；（2）k＝2a﹣5；（3）x0<．
【解析】
解：（1）∵函数y1＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3
∴，
∴，
∴函数y1的表达式为y＝3x2﹣3x﹣2；
（2）∵2a+b＝3
∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，
整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2
∴当x＝1时，y1＝﹣2，
∴y1恒过点（1，﹣2）
∴代入y2＝kx+b得
∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5
∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5
（3）
∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5
∴对称轴为x＝﹣，
∵x0＜1，且m＞n
∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，
当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）
故x0的取值范围为：
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B
（1）求该二次函数的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．

【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．
【解析】
（1）根据题意，得
，
解得 ，
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．
（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，
∴函数图象的对称轴为x＝2；
顶点坐标是（2，﹣10）．
20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）
【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：b＝2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∴OC＝3．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S△POC＝2S△BOC，
∴OC•|a|＝OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2．
当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；
当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．
∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．
21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.
【解析】
解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;
（2）可化为，
当，
即时，，
抛物线一定经过点.
22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.
(1)求抛物线解析式；
(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.

【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).
【解析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，
解得
∴抛物线的解析式为
(2)过点P作PD⊥x轴于D.

设点，
∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD
=(
=
∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=
整理得，
解得x=1或x=2.
∴点P的坐标为(1，2)或(2，)