专题05二次函数的三种表示方式（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题05二次函数的三种表示方式
专题综述课程要求

二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.
高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.
课程要求


《初中课程要求》
了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移，还了解了些简单的对称变换
《高中课程要求》
掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换

知识精讲


高中必备知识点1：一般式

形如下面的二次函数的形式称为一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

高中必备知识点2：顶点式

形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(h，k)．

高中必备知识点3：交点式

形如下面的二次函数的形式称为交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
典例剖析


高中必备知识点1：一般式

【典型例题】
已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，(0，﹣3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点(m，k)和点(n，k)在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)方程有两个不相等的实数根．
【解析】
(1)抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，(0，3)
9a﹣3b+c＝0

解得a＝1，b＝2，c＝﹣3
∴抛物线y＝x2+2x﹣3；
(2)∵点(m，k)，(n，k)在此抛物线上，
∴(m，k)，(n，k)是关于直线x＝﹣1的对称点，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝(﹣n﹣2)2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根．

【变式训练】
抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)

【答案】y=-x2+2x+3
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，
设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4
把点(3，0)代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-(x-1)2+4
故答案是y=-x2+2x+3．

【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.

(1)求抛物线y2的解析式(化为一般式)；
(2)直接写出抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
【答案】(1) y=12x-22-2 ;(2)4.
【解析】
(1)∵抛物线y1=12x2的顶点坐标为0,0，把点0,0先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为2,-2，
∴抛物线y2的解析式为y=12x-22-2；
(2)∵顶点坐标为2,-2，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=S矩形OBAC，
∴抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=4.



高中必备知识点2：顶点式

【典型例题】
已知二次函数．
⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；
⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【答案】(1)；(2)(1，2)，直线
【解析】
(1)





(2)∵
∴顶点坐标为(1，2)，对称轴方程为直线.

【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点是(﹣1，2)，且经过(1，﹣6)，求这个二次函数的解析式．
【答案】二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2．
【解析】
∵二次函数的图象的顶点是(﹣1，2)，
∴设抛物线顶点式解析式y=a(x+1)2+2，将(1，﹣6)代入得，a(1+1)2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2．

【能力提升】
二次函数的图象经过点，，．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
【答案】(1)；(2)(1，-4)；(3)5
【解析】
(1)设，把点，，代入得
，解得
∴；
(2)∵
∴函数的顶点坐标为(1，-4)；
(3)∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．


高中必备知识点3：交点式

【典型例题】
已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．
【答案】(1)k＜32；(2)(﹣2，0)和(0,0).
【解析】
(1)∵图象与x轴有两个交点，
∴方程x2+2x+2k-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac>0，即4-42k-2>0， 解得 k<32．
(2)∵k 为正整数，k<32．
∴k=1．
∴y=x2+2x
令 y=0，得 x2+2x=0,解得 x1=-2，x2=0，
∴交点为(﹣2，0)和(0，0).

【变式训练】
已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.
(1)求抛物线与x轴两交点坐标；
(2)求抛物线的解析式．
【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；(2)y＝－12x2－2x＋52.
【解析】
(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，
∴点A、B到直线x=-2的距离为3，
∴A为(-5，0)，B为(1，0)；
(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，
∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－12，∴y＝－12x2－2x＋52.

【能力提升】
已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
(1)求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

【答案】(1)二次函数与x轴的交点坐标为(1，0)(3，0)，抛物线的顶点坐标为(2，﹣1)；
(2)图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【解析】
(1)当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为(1，0)(3，0)；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝(x﹣2)2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为(2，﹣1)；
(2)函数图象如图：

由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
对点精练


1．已知抛物线(，，是常数，)经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解：∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，
∴x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵
∴
由题意得：过点(0，-3)作x轴的平行线，如图所示．

∵该直线y=-3与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，结论③正确；
故选：C．
2．如图是二次函数(，，是常数，)图象的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法中，错误的是( )

A． B．
C． D．(为实数)
【答案】C
解：A、∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确，不符合题意；
B、∵对称轴x=-=1，
∴2a+b=0；故正确，不符合题意；
C、∵2a+b=0，
∴b=-2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a-(-2a)+c=3a+c＜0，故错误，符合题意；
D、根据图示知，当x=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m(am+b)(m为实数)．
故正确，不符合题意．
故选：C．
3．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
解:把函数变形，由m为任意数
∴，
解得，
抛物线过定点，
①此抛物线过定点正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，
解得且，
∵抛物线开口向下，
∴，
解得，
又∵且，
∴；
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是正确，
若时，，抛物线开口向上，
抛物线与x轴有两个交点，
，
∴当x=-2,，y，当x=-1，y，
即，
解得，
，
∴当x=1,，y，当x=2，y，
即，
解得，
∴有，，则m的取值范围是．

③若时，有，，则m的取值范围是正确，
所以正确结论的个数有3个．
故选择D．
4．二次函数为常数，且)中的x与y的部分对应值如表：
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
下列结论： ①；②当时，的值随值的增大而减小；③当时，函数有最值；④是方程的一个根；⑤ 当时，．其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
解：根据x与y的部分对应值可知：
当x=-1时，y=-1，即a-b+c=-1；
当x=0时，y=3，即c=3；
当x=1时，y=5，即a+b+c=5；
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为y=-x2+3x+3．
①ac=-1×3=-3＜0，故本选项正确；
②对称轴为直线x==，a=-1＜0，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故本选项错误；
③∵对称轴为直线x=，
∴当x=1.5时，函数有最值，故本选项正确；
④方程ax2+(b-1)x+c=0可化为方程ax2+bx+c=x，
由表格数据可知，x=3时，y=3，则3是方程ax2+bx+c=x的一个根，从而也是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，故本选项正确；
⑤不等式ax2+(b-1)x+c＞0可化为：ax2+bx+c＞x，即y＞x，
∵由表格可知，(-1，-1)，(3，3)均在直线y=x上，又抛物线y=ax2+bx+c开口向下，
∴当-1＜x＜3时，y＞x，故本选项正确；
综上，只有②错误．
故选：C．
5．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤关于x的方程的另一个解在和之间，
其中正确结论的个数是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点与关于直线对称，
∵时，，
∴时，，即，
故③正确；
∵抛物线，其顶点坐标为，
∴，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴关于x的方程的另一个解在和之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
6．二次函数的最大值为，且中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是( )
A．这两点一定是M和N B．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和Q D．这两点可能是P和Q
【答案】C
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，
A. 若M和N不在该二次函数图象上，则由题意知P(1，m)，Q(2，n)，R(3，n+1)一定在图象上，而x＞﹣1时y随x增大而减小，这与Q(2，n)，R(3，n+1)矛盾，故A不符合题意；
B. 若Q和R不在该二次函数图象上，则M(﹣4，c)一定在图象上，而抛物线与y轴交点(0，c)一定在图象上，这样抛物线对称轴为，这与抛物线对称轴为x＝﹣1矛盾，故B不符合题意；
C. M和Q可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D. 若P和Q不在该二次函数图象上，则M(﹣4，c)一定在图象上，同B理由，故D不符合题意．
故选：C．
7．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
(1)当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)，
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
(2)当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
(3)当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
8．函数(a，b，c为常数，)的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．有下列结论：①；②函数在和处的函数值相等；③点，在函数的图象上，若，则．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
∵抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∵抛物线的图象与x轴交于点
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0)，则-1-x=2+1
∴x=-4
即抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为和
故抛物线的解析式为
∵n>0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点
∴a<0
∴b=2a<0，c=-8a>0
∴abc>0
故①正确
当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8a
∵a<0
∴-5a<-8a
故②错误
当x=-3时，y=-5a；当x=1时，y=-5a
∵当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值随自变量的增大而减小
∴当时，
∵当时，函数值随自变量的增大而减小
∴
∴
故③正确
从而正确的结论有两个．
故选：C．
9．如图是二次函数(，，是常数，)图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③3；④当时，；⑤(为实数)．其中正确的是( )

A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点A在点(2，0)(3，0)之间，对称轴为x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在(﹣1，0)和(0，0)之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；
抛物线与x轴的交点A在点(2，0)(3，0)之间，
∴9a+3b+c＜0，
又b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；
由图可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m(am+b)，故⑤正确．
综上，正确的有①②⑤．
故选：B．
10．已知抛物线y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t≤3，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．≤m＜3 C．m＜3 D．1≤m＜3
【答案】B
解：∵抛物线y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴m＜3，
∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，
∴，
∴1≤m，
∵y＝－x2＋(6－2m)x－m2＋3＝－(x＋m－3)2－6m＋12，抛物线上的点P的纵坐标t≤3，
∴当x＝3－m时，y≤3，
即－6m＋12≤3，
∴m≥，
综上所述，满足条件的m的值为≤m＜3．
故选：B．

11．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为_____．
【答案】25
解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
对称轴，解得，
，那么当时，函数的值为25．
故答案为25．
12．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为___________.
【答案】(5，6)
解：y=mx2+(1-4m)x+1-5m=(x2-4x-5)m+x+1，
令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
当x=-1时，y=0；
当x=5时，y=6；
∴非坐标轴上的点P的坐标为(5，6)．
故答案为：(5，6)．
13．抛物线图象与轴无交点，则的取值范围为；
【答案】．
解：∵抛物线图象与轴无交点，
∴该抛物线开口向下，且，
即： ，解之得：，
故答案为：．
14．抛物线y＝ax2+ax+2(a≠0)的对称轴是直线_____．
【答案】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝，
∴抛物线y＝ax2+ax+2(a≠0)的对称轴是x＝．
即对称轴是x＝ ．
故答案为：x＝．
15．二次函数的图象如图所示，则下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的有______．(填写番号)


【答案】③④
解：由图象知，二次函数的图象开口向下，，故①错误；
由图象知，二次函数的图象与轴交于正半轴，，故②错误；
当时，由图可知，，，故③正确；
由图可知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，，故④正确，
故其中正确的有③④，
故答案为：③④．
16．从，，，2，5中任取一数作为a的值，能使抛物线的开口向下的概率为__________．
【答案】
根据使抛物线的开口向下的条件是，
∴只有，-1符合条件．
∴使抛物线的开口向下的概率为．
故答案为：．
17．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过(1，0)点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点(﹣0.5，y1)，(﹣2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是_____．

【答案】②③．
①由图象可知：a＞0，c＜0，对称轴：x＝＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误．
②由抛物线的对称性可知：△＞0，即b2﹣4ac＞0，故②正确．
③∵＝﹣1，
∴b＝2a，
令x＝1代入，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③正确．
④(﹣0.5，y1)与(﹣1.5，y1)关于直线x＝﹣1对称，
由于﹣1.5＞﹣2，
∴y1＜y2，故④错误．
故答案为：②③．
18．二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________．
【答案】
∵二次函数，，
∴函数图像开口向下，对称轴，
①当，即时，
当时，y随x的增大而减小，
，
当时，或，不符合题意；
②当时，
时，y随x的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意；
时，，，
即当时，y在随x的增大而增大，
∴x=0时，，符合题意，
则此情况下；
③当时，即，当时，，
当时，，
∵的最小值为1，
∴，，
此时，
综上：．
19．二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a+b＝0；(2)9a+c＞﹣3b；(3)7a﹣3b+2c＞0；(4)若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x+1)(x﹣5)＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有_____．

【答案】(1)(2)(5)
∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故(1)正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)，对称轴为直线x=2，
∴另一个交点为(5，0)，
∵抛物线开口向下，
∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞﹣3b，故(2)正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1，0)，
∴a﹣b+c＝0
∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴7a﹣3b+2c＝7a+12a﹣10a＝9a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故(3)错误；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C(7，y3)在抛物线上，
∴点(﹣3，y3)与C(7，y3)关于对称轴x＝2对称，
∵A(﹣3，y1)在抛物线上，
∴y1=y3，
∵﹣3＜﹣，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＝y3＜y2，故(4)错误．
方程a(x+1)(x﹣5)＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，

∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为(-1，0)，(5，0)，
∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确．
故答案为：(1)(2)(5)
20．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为__________．
【答案】②③
解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，所以①错误，不符合题意；
∵顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，所以②正确，符合题意；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以③正确，符合题意；
∵当时，二次函数有最大值为，
即只有时，，
∴方程有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意．
故答案为：②③．

21．在平面直角坐标系中，已知抛物线．

(1)当时，
①抛物线的对称轴为______；
②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是______；
(2)抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．
【答案】(1)①1；②或；(2)或．
(1)①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
(2)根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是或，
故答案为：或；
(2)抛物线的对称轴为：，且对称轴与x轴交于点M，

点与点关于轴对称，

M向右平移3个单位得到点，
，
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
把点代入抛物线，可得，
根据所画图象可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时，或．

22．平面直角坐标系中，函数(为常数)的图象与轴交于点．
(1)直接写出点坐标．
(2)当此函数图象经过点时，求此函数表达式，并写出函数随增大而增大时的取值范围．
(3)当时，若函数(为常数)图象最低点到直线的距离为3，求的值．
【答案】(1)；(2)，；(3)或．
解：(1)当时，，
所以；
(2)将点代入，得，
解得，
所以，
抛物线的开口向上，其对称轴为，
当时，随的增大而增大；
(3)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，则对称轴在轴右侧，

当时，此函数图象的最低点就是顶点，
最低点到直线的距离为3，
，
解得或(不符题设，舍去)；
②如图，当时，则对称轴在轴左侧，

当时，此函数图象的最低点就是点，
最低点到直线的距离为3，
，
解得或(不符题设，舍去)；
③如图，当时，则对称轴为轴，直线为直线，

当时，此函数图象的最低点就是点，
则最低点到直线的距离为1(不符题意，舍去)；
综上，的值为或．
23．已知函数(，为常数)．当时，，当时，，请对该函数及其图象进行探究：
(1)___________，___________；
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．
(3)已知函数的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式的解集．

【答案】(1)2，；(2)见解析；(3)或
解：(1)由题意得：，解得，
故答案为2，；
(2)由(1)知函数的表达式为，
当时，，当时，；
根据函数表达式画出函数图象如下：

从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小(答案不唯一)；
(3)从图象看两个函数交于点、，
联立和得：，解得(负值已舍去)，
即点的横坐标为，
从函数图象看，不等式的解集为或．
24．已知二次函数(是常数)．
(1)若该函数图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围；
(2)求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上；
(3)，是该二次函数图像上的点，当时，都有，则的取值范围是___________．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)或
解：(1)令，则，
∵，，，
∴，
∵该函数图像与轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得．
∴当时，该函数图像与轴有两个不同的公共点．
(2)由，得顶点坐标为，
将代入，得，
∴不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上．
(3)或
由(2)可知该抛物线顶点为，
当时，，
∴时，随的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线，
∴如图，得出，
当时，，
要使恒成立，则，
∴，或，
结合，
∴或．

25．已知抛物线．
(1)求此抛物线的对称轴；
(2)若此抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；
(3)若点与点在此抛物线上，且，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)或；(3)当＜时，＞或＜ 当＞时，＜＜
解：(1)
抛物线的对称轴为：
(2) 的对称轴为直线
顶点的横坐标为-1，
纵坐标为：，
又顶点在上，



解得：
所以抛物线的解析式为：或
(3)关于抛物线对称轴对称的点的坐标为：
当＜时，抛物线的开口向下，
点与点在此抛物线上，且，如图，

＞或＜
当＞时，抛物线的开口向上，如图，

同理可得：点与点在此抛物线上，且，
此时：＜＜
26．已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)当时，若为该抛物线上三点，且总有，请结合图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)抛物线为yx2+x或y＝x2-2x+1；(3) 且m≠－1
解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+3a2＝a(x﹣1)2+3a2﹣a﹣2．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)∵抛物线的顶点在x轴上，
∴3a2﹣a﹣2＝0，
解得a或a＝1，
∴抛物线为yx2+x或y＝x2-2x+1；
(3)∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴关于x＝1对称点的坐标为


∵a＞0，对称轴为x＝1
∴为顶点坐标，即 为最小值；
∵总有，m-1＜m+2
∴ 且
解得 且m≠－1
27．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
(2)若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
(3)过抛物线上动点(其中)作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2)；(3)或
解：(1)由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上，
∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3；
(2)当a>0时，二次函数图象开口向上，
如图，抛物线的开口向上，当，即，

此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当＜＜时，则＜＜，如图，

此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当时，则，如图，

此时：当时，满足，
当时，函数值最大，
则
恒成立，

当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在；
综上；
(3)|MN|≥1即，即
①(x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x，
只需要求x=3时即9a-3a-a≥1，
解得；
②(x≥3恒成立要求a﹤0)，
只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1，
解得．
28．已知抛物线经过点和点，顶点为．
(1)求、的值；
(2)若的坐标为，当时，二次函数有最大值，求的值；
(3)直线与直线、直线分别相交于、，若抛物线与线段(包含、两点)有两个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)2；-1 (2)-3或4 (3)或
解：(1)由于抛物线经过点，点
所以，，所以
(2)因为抛物线为，又顶点坐标为
所以，所以
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴，
∵时，有最大值，
∴当时，有，
∴或，
①在左侧，随的增大而增大，
∴时，有最大值，
∴；
②在对称轴右侧，随增大而减小，
∴时，有最大值；
综上所述：或；
(3)与直线、直线分别相交于、，
∴，
①时，时，，即；
②时，时，，即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
∴，
，∴，
∴的取值范围为或．
29．在平面直角坐标系中，函数y＝x2－2ax－1(a为常数)的图象与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标．
(2)当此函数图象经过点(1，2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
(3)当x≤0时，若函数y＝x2－2ax－1(a为常数)的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
【答案】(1)；(2)，当时，随的增大而增大；(3)或a=-1-．
(1)当时，，所以.
(2)将点代入，得.
解得
所以(如图1所示)


抛物线的开口向上，对称轴为.
因此当时，随的增大而增大.
(3)抛物线的对称轴为，顶点坐标为.
如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是.


已知最低点到直线的距离为2，
所以.
解得.
如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点.


所以.
整理，得.
解得，或(舍去正值).
综上：或.
30．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．
(1)当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
(2)求b和c(用只含字母a、n的代数式表示)；
(3)当a＜0时，函数有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
(1)函数的对称轴为直线，
∵，
∴；
(2)∵二次函数经过A(n，b)，B(m，a)，
则，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
将代入得：；
(3)∵，
∴，即，
当时，；
而，故，
∵()，
∴，
∴，且，
∴，
化简得：，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴．