第六讲 函数的奇偶性和周期性-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第六讲 函数的奇偶性和周期性【基础知识】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.【考点剖析】考点一　函数的奇偶性及应用【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，，令为增函数，也是增函数，所以是增函数.故D正确.故选：D.【典例1-2】已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，由奇函数的性质知，，，函数单调递减；又，，则由函数单减知，故选：D【跟踪训练1】偶函数满足，且在时，，则（    ）A． B．1 C． D．【跟踪训练2】设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【跟踪训练3】设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ）A． B．C． D．考点二  函数的周期性及其应用【典例2-1】已知函数的定义域为，且满足，且，，则（    ）．A．2021 B．1 C．0 D．【答案】C【详解】令，则，故，故，（舍）令，则，故．∴，即，故的周期为4，即是周期函数．∴．故选：C．【典例2-2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.【跟踪训练1】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【跟踪训练2】已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【跟踪训练3】已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ）A．3 B． C． D．5考点三  函数性质的综合运用【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：对于A：，，故A错误；对于B：，则，故为奇函数，故B错误；对于C：，则，故C错误；对于D：，，且，即为偶函数，满足条件；故选：D【典例3-2】函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意，，必有，则有，在区间上，有，排除C，在区间上，，，，排除BD.故选：A.【跟踪训练1】已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【跟踪训练2】已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（    ）A．1 B． C． D．【跟踪训练3】已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【真题演练】1．（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）A． B． C． D．2．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）A． B． C． D．4．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）A． B．C． D．5．（2021·全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A． B． C． D．  【过关检测】1．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．2．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（    ）A．3 B．1 C．0 D．﹣13．已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）A． B．C． D．5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）A． B．C． D．6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．7．对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K区间”，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．（，1]8．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．9．已知实数，，满足且，若，则（    ）A． B．C． D．10．若函数的导函数为，对任意恒成立，则（    ）A．B．C．D．