第二十五讲 抛物线及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第二十五讲 抛物线及其方程

【考点剖析】

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

【考点剖析】

考点一　抛物线的定义及应用

【例1】 (1)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝(　　)

A.4   B.6   C.8   D.10

(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)

A.2   B.   C.   D.3

解析　(1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6.

(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.

答案　(1)B　(2)A

规律方法　应用抛物线定义的两个关键点

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.

考点二　抛物线的标准方程及其性质

【例2】 (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为(　　)

A.1   B.   C.2   D.2

(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为(　　)

A.y2＝x    B.y2＝x

C.y2＝x    D.y2＝x

解析　(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，

则＝＝＝，

则cos ∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°，

则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，

设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝，

解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.

(2)由题意，知直线AB必过原点，

则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)，

圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2，

由得或

把代入抛物线方程，

得＝2p·，解得p＝，

所以抛物线C2的方程为y2＝x.

答案　(1)C　(2)C

规律方法　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

考点三　直线与抛物线的综合问题

【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.

解　(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将AB的方程代入抛物线C，得

x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

又x2＝2py得y′＝，

则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，

则有p＝2.

(2)设切线AN为y＝x＋b，

又切点A在抛物线y＝上，

∴y1＝，∴b＝－＝－，

切线AN的方程为yAN＝x－，

同理切线BN的方程为yBN＝x－.

又∵N在yAN和yBN上，

∴解得N.

∴N(pk，－1).

|AB|＝|x2－x1|＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，

∴2＝4，∴p＝2，

故抛物线C的方程为x2＝4y.

规律方法　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.

1．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.

故选：C.

2．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，，

准线方程是．

故选：A.

3．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为（    ）

A．y2＝x B．y2＝－x

C．x2＝y D．x2＝－y

【答案】C

【详解】

由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得所以，抛物线方程为．

故选：C．

4．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【详解】

由抛物线，

则，即准线，焦点，

所以焦点到准线的距离是.

故选：B

5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，抛物线的焦点为，若点的纵坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以，解得．所以，，所以.

故选：B

6．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，，弦中点的横坐标，则该抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设，，由抛物线定义知：，

又，即，故抛物线方程为．

故选：B

7．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则取得最小值的的坐标为：（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设抛物线的准线方程为：，，过作，垂足为，

所以，要想取得最小值，只需在一条直线上即可，此时，的坐标为，

故选：B

8．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由抛物线得准线方程为y＝﹣，因此双曲线的一个焦点为，∴c＝．

双曲线化为，∴a＝1，∴双曲线的离心率＝．

故选：C．

9．抛物线的焦点为是抛物线C上的点若三角形的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为，则p的值为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【详解】

解：抛物线的焦点，，准线，

设的外心为，半径为，

面积，则，

，

而点在线段的垂直平分线上，

，而圆与抛物线的准线相切，

则有，即，．

故选：A

10．已知点在抛物线上，为焦点，点，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【详解】

因为抛物线方程，所以其准线方程是.过作垂直于准线，垂足为，则，所以.当，，三点共线时，最小，最小值，故的最小值为6.

故选：D．

二、多选题

11．(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（    ）

A．焦点坐标为(0，1) B．焦点坐标为

C．准线方程为y=- D．准线方程为y=-1

【答案】BC

【详解】

由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.

故选：BC

12．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点， 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

设准线与x轴的交点为E,连接MF,NF,如图由抛物线的定义可得，,由题意可得，,在Rt△EFM中，，在△ 中， ，同理可得，，所以，故A错误，B,D正确；在△ MNF中，,所以，所以，故D正确.

故选：BCD

三、解答题

13．求下列条件抛物线的标准方程：

（1）准线为；

（2）抛物线经过点.

【详解】

解：（1）抛物线的准线为，所以抛物线焦点在轴负半轴，所以，所以，所以抛物线方程为

（2）因为抛物线经过点，设抛物线方程为或，所以或，解得或，所以抛物线方程为或

14．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求．

【详解】

抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：

则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，

由抛物线定义知，，而，

则，解得，

所以=4.

15．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.

【详解】

（1）由双曲线方程可得，，

所以，解得.

则曲线的右焦点为，所以，.

因此，抛物线的标准方程为；

（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.

代入抛物线方程可得，解得，

所以点的坐标为或.