第五讲 函数的单调性和最值-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第五讲 函数的单调性和最值【基础知识】1.函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【考点剖析】考点一　确定函数的单调性(区间)【典例1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意可得函数在上为增函数，由可得，对A，由在上为增函数，且，所以，故A正确；对B，由，，故B正确；对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.故选：D【典例1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，故选：C【跟踪训练1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以或，因为在上单调递增，且，所以，因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，因此，综上：不等式的解集为.故选：C.【跟踪训练2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A． 考点二  求函数的最值　【典例2-1】（2021·江苏高三专题练习）函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（    ）A．或2 B．2 C． D．【答案】B【详解】根据题意，，且，由的单调性，可知其在上是单调递增函数或单调递减函数，总是在和2时，取得两个最值，即，即或当方程成立，即，判别式，该方程无实数解；当方程成立，即，解得（舍去），故选：B．【典例2-2】（2020·上海高三一模）设，，若，则的（    ）A．最小值为8 B．最大值为8C．最小值为2 D．最大值为2【答案】A【详解】因为，，所以，因为，所以，，则，故当时，最小，，故选：A.【跟踪训练1】（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】由得，故函数的定义域为 ，易知函数在上单调递增，所以，解得 故选：B.【跟踪训练2】（2020·广东揭阳市·高三期中）已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(3，)，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间[，2]上的最小值是（    ）A．－1 B．0 C．－2 D．【答案】A【详解】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，故选：A【跟踪训练3】（2020·河北邢台市·高三其他模拟（理））函数在上的最大值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】函数，函数在区间上是增函数，所以函数的最大值为：. 考点三  函数单调性的应用【典例3-1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：令，则，∵，∴，∵，∴是R上的奇函数，∴可化为，又∵，所以在R上是减函数，∴，解得，，故选：A．【典例3-2】（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：是上的减函数，是上的减函数，是上的减函数，，，，，．故选：．【跟踪训练1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，则，因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.故选：D【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三二模（理））下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】A选项中，，则函数是单调递减函数，不符合题意；B选项中，定义域为不关于原点对称，不符合题意；C选项中，因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；D选项中，函数，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，又因为，由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增，满足题意.故选：D．【跟踪训练3】（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是上的奇函数，所以由得，又因为在上单调递减，所以，解得，即.因为在单调递增，所以在上的最小值为.  【真题演练】1．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.2．（2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.3．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（）A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称【答案】D【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.5．（2012·上海高考真题（理））已知函数（a为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.【答案】(-∞, 1]【详解】令，则，由于底数，故增且增，由的图象知在[,+∞)上递增,所以在区间[1,+∞)上是增函数时，a≤1. 则a的取值范围是(-∞, 1].   【过关检测】1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D2．设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：为定义在上的奇函数，因为当时，，所以，故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：．3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（    ）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]【答案】D【详解】解：设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，由，得，即，所以，因为在[0，+∞）单调递增，所以，两边平方得，解得，所以实数m的取值范围是（﹣∞，]，故选：D4．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A错误；对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C错误，D正确.故选：D.5．已知函数，则满足的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即为偶函数，当时，单调递增，且，可得，即，所以，即.所以，解得.故选：D.6．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意可知，可转化为，所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，即x的取值范围是.7．已知函数，则的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.当时，，所以是减函数，且；所以当时，是增函数，且.因此，当或时，；当时，.所以，或或或.故的解集为.8．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，对于任意，都有成立，所以即对于任意恒成立，所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，当时，在上单调递减，则，解得，不合题意；当时，在上单调递增，则，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，则，所以，综上，.故选：D.9．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（    ）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】因为时，为单调递减函数，又因为函数为偶函数，所以当时，为单调递增函数，所以,则，即，由区间的定义可知，即，由于最大值为，故显然不恒成立；若，所以，即，所以，解得 ，故b的最大值为.故选：B10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（    ）A．3 B． C．1 D．2【答案】D【详解】解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，令，则．易知在上是增函数，所以．因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，当时，，解得或（舍去）；当时，，不合题意，舍去．综上，，故选：D．11．已知函数，且．（1）求的值；（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；（3）求函数在的最大值和最小值．【详解】解：（1）因为，且，所以，解得，（2）函数在上为减函数，证明如下：任取，且，则因为，且，所以，，所以，即，所以函数在上为减函数，（3）由（2）可知在上为减函数，所以当时，函数取得最大值，即，当时，函数取得最小值，即12．已知函数（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；（2）证明在区间存在两个不同的零点，且【详解】（1）证明：任取且则，又即所以函数在(0，2)上单调递减.（2）证明：由（1）利用定义法可证函数在上单调递增；又，分别在内有零点，即有两个零点，记为，且