第三讲 基本不等式-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第三讲 基本不等式【基础知识】1.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).2.均值不等式：≤(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.3.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}8.分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧] 1.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔<.2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.≤≤≤(a>0，b>0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【考点剖析】考点一　不等式的性质【典例1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】  故A错误; 故B错误; 故C错误; 故D正确.故选: D【典例2】对于任意实数，，，，下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】C【详解】A：若，则，故A错误；B：若，则，则，故B错误；C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；D：若，则，故D错误.故选：C.【跟踪训练1】实数满足，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】A，若，则，故A错误；B，若，则，故B错误；C，若，则，所以，故C正确；D，若，则，故D错误.故选：C【跟踪训练2】已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（    ）A．ab＞cd B．a－b＞c－dC．ab＋cd＞ad＋bc D．【答案】C【详解】若,此时，，.A、B、D错误.因为，所以，又因为，所以，C正确.故选C.【跟踪训练3】若，则下列不等式中，不能成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】若，则，即，A成立；，即，B不成立；，C成立；，D成立；故选：B 考点二　利用均值不等式【典例1】已知，则的最小值是_______．【答案】【详解】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.【跟踪训练1】 设，，，则的最小值为__________.【答案】.【详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．【跟踪训练2】设，则的最小值为______.【答案】【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．  考点三　一元二次不等式的解法　【典例1】已知p：；q：，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，又因为∀x∈R，ax2﹣ax﹣1＜0，当时，满足题意；当时，即，综上；所以，但，故p是q的充分不必要条件.故选：A.【典例2】已知函数，若不等式的解为，则的值为（    ）A． B．3 C． D．2【答案】A【详解】由题知，-1,4为方程的两个根，则，解得，故，故选：A【跟踪训练1】不等式的解为（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【详解】，解得或故选：B【跟踪训练2】“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为解得，而，解得，所以若，则不一定成立；反之，若，则一定成立；所以”是“”的必要不充分条件，故选：C【跟踪训练3】设，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件【答案】B【详解】由可得，由可得所以“”是“”的必要而不充分条件故选：B  【真题演练】1．下列函数中最小值为4的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．2．若满足约束条件则的最小值为（    ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.5．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为A．−7 B．1 C．5 D．7【答案】C【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设,当直线经过点时,取最大值5.故选C. 6．（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD    【过关检测】1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解得，即，解得，即，于是有，所以.故选：B2．已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当即，时等号成立，故的最小值．3．若、满足约束条件，则的最大值是（    ）A． B．1 C．4 D．5【答案】C【详解】解法一：把三个不等号改成等号，两两解出交点，再代入另一个不等式检验是否满足，本题三个点，，，均满足剩下的不等式（注意：不满足的点不要），再把三个点代入，比较大小，找出最大的一个即可，即代入最大为.解法二：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由得，平移直线，图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为4故选：C4．若，则下列不等关系一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，所以故选：B5．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，∵∴不等式成立的一个充分不必要条件是，故选：D.6．已知，，，则的最小值为（    ）A．9 B．5 C． D．【答案】C【详解】，所以.第7题解析：由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，故平面，所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，取中点，连接，，则，∴，，，四点共面，∴点的轨迹即为等腰梯形，由正方体棱长为2得，，故轨迹长度为.7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A8．设正实数、满足，则下列说法错误的是（    ）A．有最大值 B．有最小值C．有最小值 D．有最大值【答案】B【详解】因为正实数、满足.对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B选项错误；对于C选项，，所以，，当且仅当时，等号成立，C选项正确；对于D选项，，则，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：B.9．已知正数、满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以，，因为、均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.10．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】设BD、AE交于O，因为，所以，所以,所以，则，所以，因为O、F、B三点共线，所以，即，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，故选：A