专题16 椭圆的简单几何性质（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题十六   椭圆的简单几何性质  

一、核心素养聚焦

考点一  数学运算-由离心率求椭圆方程

例题9.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．

【解析】(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.

由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，

则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即中点的坐标为.

考点二   直观想象-离心率和椭圆的形状

例题10比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)

【答案】①　

【解析】把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，而＋＝1的离心率e2＝＝，这里e2＜e1，故①更扁．

考点三  逻辑推理-直线与椭圆的位置关系

例题11、已知椭圆方程为.

（1）判断直线是否与椭圆有公共点；

（2）若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，且，求直线l的方程.

【答案】（1）没有公共点；（2）或.

【解析】（1）由可得，由于，所以该方程组无解，即直线与椭圆没有公共点.

（2）设直线l的方程为，.

由方程组消去y得，

由题意，得，且，

因为，

所以，

解得，验证知成立，

所以直线l的方程为或.

二、学业质量测评

一、选择题

1．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，为椭圆的两焦点，则，，

设，则，，

因为为钝角，

所以，

又∵，∴，

∴.

故选：B.

2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解：，所以

故选：B.

3．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】因为椭圆：，焦点，

所以，，，即，解得或（舍去）.

所以，长轴为.

故选：D

4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（    ）

A． B．8 C．2 D．4

【答案】A

【解析】由题意， 且，∴．

故选:A．

5．已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设椭圆的焦距为，则，，

因为圆以为直径，

所以半径，圆心到原点的距离为，

因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，

所以，即，

化简得，，，

则，，，解得或（舍去），

故选：B.

6．“”是“椭圆的离心率为”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】椭圆离心率为，可得：

时，，；

时，，

总之或．“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件．

故选：A．

7．（多选题）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.

对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；

对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；

对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；

对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.

故选：ACD.

8．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．

C． D．

【答案】AB

【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确；

又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；

设，其中，则有，

即有，则，因此C错误；

，

即有，则，因此D错误．

故选：AB．

二、填空题

9．已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为_______.

【答案】10

【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，

由题意可知，则，

因为的坐标为，所以，

由椭圆的定义可得，

因为，

所以周长为，

当且仅当三点共线时取等号，

所以周长的最大值为10，

故答案为：10

10．已知F是椭圆C：（）的左焦点，是椭圆C过F的弦，的垂直平分线交x轴于点P.若，且P为的中点，则椭圆C的离心率为______.

【答案】

【解析】

如图，设椭圆的右焦点为，连接，过点作交于，则点为中点. 设.

所以点是中点，

因为,

所以

由椭圆的定义得

在直角中，，

所以 （1）

在直角中，

所以.

把代入（1）得

故答案为：.

11．已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____．

【答案】

【解析】由题意，设直线AB的方程为，点 A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，

所以x1+x2，x1x2．

因为，即，

代入整理得，解得，

不妨取：m＝2，可得直线AB的方程为，

设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t，

联立方程组，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，

由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．

取t＝﹣6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离，

所以△ABC面积的最大值，

故答案为：．

12．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，则的最大值为______；过点作椭圆的切线，则切线的斜率为______.

【答案】       

【解析】由余弦定理可得：，当且仅当时，取到最小值，取到最大值；

可判断直线斜率一定存在，设直线方程为：，

由得，令得，化简得

故答案为：；

三、解答题

13．已知焦点在轴上的椭圆半长轴离心率等于.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点是椭圆上的一点，焦点分别为，且的面积为1，求点的坐标.

【答案】（1）（2）点的坐标有以下可能：，，，

【解析】（1）由得，所以，

所以椭圆的标准方程为

（2）设，由（1）得，且

得，所以，

因为，解得

所以点的坐标有以下可能：

14．已知椭圆C：和点.

（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；

（2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点，求弦长；

（3）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程.

【答案】（1）和，；（2） ；（3）.

【解析】（1）由得，

，，，

∴焦点坐标是和；离心率.

（2）联立方程组，

消y得，得，或，

则A，B两点坐标分别为和，

弦长.

（3）显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为，

设交点分别为、，则，

，

又，

，，

，

直线方程为 即.

15．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．

【答案】．

【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，

．

，

，

．

，

，

，

，

∴椭圆的离心率．