专题16 三角恒等变换、三角函数的应用（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题十六   三角恒等变换、三角函数的应用 核心素养练习  

一、核心素养聚焦

考点一  逻辑推理-公式变形运用

例题12.(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.

(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．

(1)【答案】1　

【解析】∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)

＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，

∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.

(2)【解析】　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，

∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，

∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.

又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.

∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，

∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，

∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．

考点二   数学建模-三角函数在实际问题中的应用

例题13.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

【解析】　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<，

∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，

即当α＝时，△OAB的周长最大．

考点三  数学运算-三角函数求值

例题14、已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值．

【解析】　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，

所以－＜α－β＜，

因为sin(α－β)＝－＜0，

所以cos(α－β)＝，

因为cos α＝，所以sin α＝，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝.

考点四 直观想象-由图象求函数的解析式

例题15.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．

【解析】　法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，所以f(x)＝3sin.

法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，

又图象过点，所以f＝3sin＝0，

所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.

法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.

二、学业质量测评

一、选择题

1．（2016·全国高三课时练习）已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝  (　　)

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】因为，且为锐角，则，所以，

因为，

所以

故选B.

2．（2018·全国高三课时练习（理））已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cosA＝(　　)

A． B．－

C． D．

【答案】B

【解析】

因为cos＝－，即cos＝－，所以sin＝－，则sin＋cosA＝sinAcos＋cosAsin＋cosA＝sin＝－.故选B.

3．（2018·甘肃高二课时练习）若为锐角，，则等于（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由角的关系可知

因为为锐角，

根据同角三角函数关系式，可得

所以选A

4．（2018·甘肃高二课时练习）已知，则等于（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以

根据

所以

由正弦函数差角公式化简得

所以选D

5．（2018·甘肃高二课时练习）已知中，，那么是（    ）

A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

【答案】D

【解析】移项，得

由余弦函数和角公式得

在三角形ABC中，所以

又因为

所以

所以三角形为钝角三角形

所以选D

6．（2018·甘肃高二课时练习）的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据诱导公式，化简得

所以选C

7．（2018·甘肃高二课时练习）若均为锐角，，，则

A． B． C．或  D．

【答案】B

【解析】∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，
∵，且 ，

∴ ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

故选B.

8．（2012·全国高一课时练习）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

故选A

9．（2018·全国高一课时练习）函数在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由题设中提供图像信息可知，则，将代入可得，即，故，又，故，应选答案D。

10．（2018·全国高一课时练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【解析】因为，所以由y=3sin2x的图象向左平移个单位得到

11．（2018·福建省福州格致中学高一单元测试）如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（    ）

A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟

【答案】A

【解析】由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin，

令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，

k=0，1，2，3．

∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．

故选：A．

12．（2019·全国高一单元测试）若在上是减函数，则的最大值是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，，

当，即时，单调递增，

则在上单调递减，

∴是在原点附近的单调递减区间，

结合条件得，

∴，即的最大值为.

故选C.

二、填空题

13．（2018·甘肃高二单元测试）__________.

【答案】1

【解析】

，

.

故答案为：1

14．（2017·全国高一单元测试）给出下列四个命题：

①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；

②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；

③正弦函数在第一象限内为增函数；

④存在实数α，使sinα＋cosα＝.

以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).

【答案】①②

【解析】

对于①,将x＝代入得是对称轴,命题正确;

对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;

对于③, 正弦函数在上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；

对于④, ,最大值为,不正确;

故填①②.

15．（2011·山东高三单元测试（文））已知角的终边过点，则____

【答案】

【解析】∵角的终边过点，

∴，

则，

故答案为.

16．（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω·φ=_____.

【答案】π

【解析】由是偶函数可得

，则当时，

的图象上的点关于对称。则

故，即

在区间上是单调函数

，即

又，

则当时，

则

故答案为

三、解答题

17．（2019·全国高一课时练习）已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.

(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)sin 2β=cos=cos =2cos2-1=2×-1=.

(2)因为0<α<<β<π,所以<α+β<,所以sin>0,cos(α+β)<0,

又因为cos,sin(α+β)=,

所以sin,cos(α+β)=-,

所以cos=cos =cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-.

18．（2018·辽河油田第二高级中学高一单元测试）

已知函数的最大值是1，其图像经过点

（1）求的解析式；

（2）已知且求的值。

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）依题意知 A=1，又图像经过点M∴，

再由得即

因此；

（2），

且

，

；

19．（2017·浙江省杭州第二中学高一单元测试）设函数的图像过点.

（1）求的解析式；

（2）已知，，求的值；

（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，

单增区间为.

【解析】（1）因为，所以；

（2）,

 所以 , =;

（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，

由得

单减区间为，

由得

单增区间为。

20．（2017·浙江省杭州第二中学高一单元测试）已知函数，

（1）请用“五点作图法”作出函数的图象；

（2）的图象经过怎样的图象变换，可以得到的图象.（请写出具体的变换过程）

【答案】（1）见解析；（2）变换过程见解析.

【解析】（1）①列表

②描点，连线

（2）.

将函数图象上各点横坐标不变纵坐标变为原来的三分之一，得到函数的图象；的图象上各点纵坐标不变横坐标变为原来的一半，得到函数的图象；的图象上各点向左平移个单位，得到的图象.

21．（2019·全国高一课时练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式;

(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.

【答案】（1）T=π,f(x)=sin；（2）.

【解析】(1)由图可得A=1,,所以T=π,因此ω=2.

当x=时,由f(x)=1,可得sin=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,

故f(x)=sin.

(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin-cos 2x=sin 2x+cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,

因为x∈,所以-≤2x-,

故当2x-=-,即x=0时,函数g(x)取最小值.

22．（2016·全国课时练习）如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.

(1)求与间关系的函数解析式；

(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．

【答案】(1)    (2)

【解析】(1)过点作地面的平行线，过点作的垂线交于点．

当时，，；

当，时，上述解析式也适合．综上所述，.

(2)点在上逆时针运动的角速度是，∴秒转过的弧度数为，

∴．