专题06 第二章 复习与检测(核心素养练习) 高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册)
展开专题六 第二章 复习与检测 核心素养练习
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-解一元二次不等式
例题7、解不等式x2-5x+6>0;
【答案】{x|x>3,或x<2}
【解析】方程x2-5x+6=0有两个不等实数根x1=2,x2=3,又因为函数y=x2-5x+6的图象是开口向上的抛物线,且抛物线与x轴有两个交点,分别为(2,0)和(3,0),其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x|x>3,或x<2}.
考点二----- 数学建模-基本不等式的应用
例题8.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?
【解析】设使用x年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.
因此,汽车使用x年总的维修费用为x万元.
设汽车的年平均费用为y万元,则有
y===1++≥1+2=3.
当且仅当=,即x=10时,y取最小值.
即这种汽车使用10年时,年平均费用最少.
二、学业质量测评
一、选择题
1.(2018·全国高一专题练习(理))若,则下列不等式错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,∴,故A对;
∵,∴,,∴,故B错;
∵,∴,即,∴,故C对;
∵,∴,∴,即,故D对;
故选B.
2.(2019·全国高一课时练习)不等式的解集( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,如果展开,其二次项系数为负,对应抛物线开口向下,大于0解集为“两根之间”,故解集为,所以正确选项为D。
3.(2019·全国高一课时练习)若关于的不等式的解集是,则实数等于( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由题意不等式的解集是,
所以方程的解是,则,解得,故选C.
4.(2019·全国高一课时练习)已知实数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,,,,
由于,在不等式上同时乘以得,因此,,故选:A.
5.(2019·全国高一课时练习)正实数,满足,则的( )
A.最小值为 B.最大值为
C.最小值为3 D.最大值为3
【答案】A
【解析】,
所以的最小值为,
故选:A.
6.(2019·全国高一课时练习)函数的最小值为 ( )
A.3 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】,则,,当时取“=”,所以正确选项为A。
7.(2019·全国高一课时练习)“”是“一元二次不等式恒成立”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由一元二次不等式恒成立,则且,
反之,时,如:不恒成立,
故选:B.
8.(2019·全国高一课时练习)不等式x2+ax+4<0的解集不为空集,则a的取值范围是( )
A.[-4,4]
B.(-4,4)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
【答案】D
【解析】不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,
只需Δ=a2-16>0,∴a<-4或a>4,故选D.
9.(2018·全国高二单元测试)若不等式和不等式的解集相同,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据题意可得|8x+9|<7⇒-2<x<,
故由{x|-2<x<}是不等式ax2+bx>2的解集可知x1=-2,x2=
是一元二次方程ax2+bx-2=0的两根,根据根与系数的关系可知x1x2==⇒a=-4,x1+x2==⇒b=-9,故选B.
10.(2018·全国高一专题练习(理))已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B={x|>0},那么集合A∩(∁UB)=( )
A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}
【答案】D
【解析】
依题意A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},故∁UB={x|-1≤x≤4},故A∩(∁UB)={x|-1≤x≤3},故选D.
11.(2014·全国高三专题练习(理))的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以
由均值不等式可得:
当且仅当,即时,等号成立,
故选B.
12.(2017·全国高三专题练习)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
当时,不等式恒成立,对一切非零实数均成立,
由于
当且仅当时取等号,故的最小值等于
则实数的取值范围为
故答案选
二、填空题
13.(2014·全国高三专题练习(文))已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是 .
【答案】ab>0或ab<-1
【解析】
((a-)-(b-)=>0,
由a>b知>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab>0或ab<-1.
14.(2014·全国高三专题练习(文))已知a>b>0,给出下列四个不等式:①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.其中一定成立的不等式序号为________.
【答案】①②③
【解析】
因为a>b>0⇒a2>b2,故①正确;a>b>0⇒a>b-1⇒2a>2b-1,故②正确;因为a>b>0⇒ab>b2>0⇒>b>0,而()2-(-)2=a-b-a-b+2=2(-b)>0,所以③正确;因为当a=3,b=2时,a3+b3=35<2a2b=36,故④不正确.
15.(2019·北京高三专题练习(理))已知,则的最小值为____________.
【答案】4
【解析】,
,
当且仅当时取等号,
的最小值为,故答案为4.
16.(2017·上海中学高一期中)关于的不等式,当时恒成立,则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】由得:
当时,
又 ,即的取值范围为
三、解答题
17.(2011·山东高二期中)已知,比较下列各题中两个代数式值的大小:
(1)与;
(2)与.
【答案】(1);(2).
【解析】(1) 因为
.
(2)
得,所以.
18.(2019·西藏拉萨市北京实验中学高二期中)解下列不等式
(1);
(2).
【答案】(1);(2)
【解析】(1)令,解得或,所以的解集为;
(2)由题意,,
令,解得或,所以的解集为,
即的解集为.
19.(2019·随州市曾都区第一中学高一期中)已知函数
(1)解关于的不等式;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案不唯一,具体见解析.(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ) 即,
,(ⅰ)当时,不等式解集为;
(ⅱ)当时,不等式解集为;
(ⅲ)当时,不等式解集为,
综上所述,(ⅰ)当时,不等式解集为;
(ⅱ)当时,不等式解集为;
(ⅲ)当时,不等式解集为 .
(Ⅱ)对任意的恒成立,即恒成立,即对任意的,恒成立.
①时,不等式为恒成立,此时;
②当时,,
, , ,
当且仅当时,即,时取“”, .
综上 .
20.(2019·陕西高二期中(理))(1)设,求函数的最小值.
(2)解不等式:
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意,设,则,
则,
当时,即时,即时取等号,
所以函数的最小值为.
(2)由不等式,可得,解得或,
所以不等式的解集为.
21.(2019·湖北高一期中)如图,某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏,按照修建要求,中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFCD为正方形,设米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米800元,设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数解析式及x的取值范围;
(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?并求出y的最小值.
【答案】(1);(2)当为20米时,最小.的最小值为96000元.
【解析】(1)设米,则由题意得,且2分
故,可得4分
(说明:若缺少“”扣2分)
则, 6分
所以关于的函数解析式为. 7分
(2), 10分
当且仅当,即时等号成立. 12分
故当为20米时,最小.的最小值为96000元. 14分
22.(2018·山东师范大学附中高二期中)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)当x∈(1,+∞)时,求的最小值及相应x的值.
【答案】(1)(1,2]∪[3,+∞)(2)的最小值为,此时.
【解析】(1)因为,所以,
所以,
解得:1<x≤2或x≥3,
故不等式的解集为:(1,2]∪[3,+∞)
(2)当(1,+∞)时,令1=t,则t>0,
则,
又当t>0时,,当且仅当即即时取等号,
故的最小值为,此时.