专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

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考点一 逻辑推理-利用不等式的性质证明不等式
例题9. 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
【证明】 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
考点二 数学运算-利用基本不等式求条件最值
例题10.已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
【解析】∵x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
考点三 数学建模素养-利用基本不等式解决实际问题
例题11、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，
所以2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，
即Smax＝eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.
∵x>0，∴0