第21讲 立体几何小题-2022年新高考艺术生40天突破数学90分

第21讲 立体几何小题

一．选择题（共22小题）

1．（2020秋•张家界期末）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为正方体的体积为8，

所以正方体的棱长为2，

因为正方体的体对角线即为外接球的直径，

所以正方体外接球的直径，

所以半径为，

则该球的表面积为．

故选：．

2．（2020秋•南阳期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为三棱锥中，平面，，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，，

则长方体的长宽高分别为2，2，，

所以三棱锥外接球的半径，

故三棱锥外接球的表面积．

故选：．

3．（2020秋•池州期末）已知三棱锥中，，平面，，故三棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：依题意，，，，将三棱锥置于长宽高分别为5，4，3的长方体中，

可得三棱锥外接球的直径为，

故所求表面积，

故选：．

4．（2020秋•印台区校级期末）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，，，，若该棱锥的体积为，则此球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，平面，得就是三棱锥外接球的直径，

如图所示：

易得，

所以，

，

即，

则，

故三棱锥外接球的半径为．

所以三棱锥外接球的表面积，

故选：．

5．（2020秋•城中区校级期末）已知长方体的顶点，，，在球的表面上，顶点，，，，在过球心的一个平面上，若，，，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为8，6，8的长方体，

则球就是该长方体的外接球，

球的半径为，

球的表面积．

故选：．

6．（2020秋•渭滨区期末）已知三棱锥，，，，则三棱锥外接球的体积是　　

A． B． C． D．

【解析】解：将三棱锥放置于长方体中，如图所示．

则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，

设过长方体一个顶点的三条棱长分别为，，，

，，，

长方体的对角线长为

，

可得外接球的半径为，

因此，三棱锥外接球的体积是．

故选：．

7．（2020秋•吉安期末）已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：设三棱锥的外接球的半径为，

由题意可得：，

．

三棱锥的外接球的表面积为．

故选：．

8．（2020秋•抚顺期末）在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图，设外接圆的圆心为，连接，，，连接．

由题意可得，，且，．

因为平面平面，且，

所以平面，且．

设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

所以，解得，

从而，

故三棱锥外接球的表面积为．

故选：．

9．（2020秋•天津期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：设正方体的棱长为，则，

由于三棱锥的表面积为，

则，

解得，

又，

即，

所以正方体的外接球的体积为．

故选：．

10．（2020秋•齐齐哈尔期末）已知四棱锥的顶点都在球的表面上，底面是矩形，侧面底面，为等腰直角三角形，，，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：底面是矩形，侧面底面，为等腰直角三角形，，

故，，两两互相垂直，且，，

四棱锥的顶点都在以，，为长宽高的长方体的外接球的表面上，

故球的半径为：，

球的表面积为．

故选：．

11．（2021•二模拟）在正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意可知，，

则，所以，同理可得，，

从而可以构造以为其中四个顶点的正方体，棱长为，外接球的半径为，

外接球的直径就是正方体的体对角线的长，所以，

所以外接球的体积为：．

故选：．

12．（2020秋•南岗区校级期末）已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到正方体中，平面，，

可得长方体的对角线为．

球的半径．

球的表面积．

故选：．

13．（2020秋•水富市校级期末）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，

可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径，

球的半径为，

球的表面积为，

故选：．

14．（2020秋•阳泉期末）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点，，，，满足，，，则该鞠的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为，，，所以可以把，，，四点放到长方体的四个顶点上，

则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．

设该长方体的长、宽、高分别为，，，

“鞠”的半径为，则．

因为，，，

所以，所以．

故选：．

15．（2020•大连二模）下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是　　

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【解析】解：对图①，构造所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面，由线面平行的定义可得平面．

对图④，通过证明得到平面；

对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；

故选：．

16．（2020春•凉山州期末）如图所示的四个正方体中，，是正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③

【解析】解：对①，连接交于点，则，易知平面，即①正确，故排除；

对③，由正方体的性质可知，平面平面，又在平面内，故平面，即③正确，故排除．

故选：．

17．（2019秋•雁峰区校级月考）设，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

（1）若，，那么；（2）若，，，那么；

（3）若，，那么；（4）若，，则，

其中正确命题的序号是　　

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）

【解析】解：对于（1）如果，，根据直线与平面垂直的性质可知，所以（1）正确；

对于（2）如果，，，根据线面垂直与线面平行性质可知与可以垂直，也可以平行，还可以相交，所以（2）错误；

对于（3）如果，，根据直线与平面平行的判定可知，所以（3）正确；

对于（4）设平面，，是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故（4）不正确．

故选：．

18．（2016•渝中区校级模拟）已知，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题

①，；②，；

③，；④，，

其中不正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】解：对于①、②结论中还可能，所以①、②不正确．

对于③、④结论中还可能，所以③、④不正确．

故选：．

19．（2012秋•聊城期末）如图在正方体中，与平面平行的直线是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

四边形是平行四边形

平面，平面，

平面

故选：．

20．（2011秋•红花岗区校级期末）平面平面，直线，，则　　

A． B． C．与异面 D．与相交

【解析】解：平面平面，直线，，

过直线作平面，，，

，，

，

平面平面，

，

故选：．

21．（2009秋•锦州期末）设、表示平面，表示不在内也不在内的直线，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则．

其中正确的命题是　　

A．①③ B．①② C．②③ D．①②③

【解析】解：①，由，可以知道过的平面与相交，设交线为，则，又，所以，，故，正确；

②，由，，则与可以平行、相交垂直，故错误；

③，，，则与平行或在内，而条件是表示不在内也不在内的直线，故只有，正确．

故选：．

22．（2019秋•平顶山期末）已知直线平面，直线平面，则下列结论一定不正确的是　　

A．，相交 B．，异面 C． D．

【解析】解：由平面的垂线的定义可知，

在平面内肯定不存在与直线平行的直线．

故选：．

二．填空题（共6小题）

23．（2020秋•葫芦岛期末）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，则三棱锥内切球表面积是　　．

【解析】解：如图所示：设顶点在底面内的射影为，连接，，

在正三角形中，，

则在直角三角形中，，

三角形的面积为，

取的中点，连接，则，

则在直角三角形中，，

所以三角形的面积为，

设正三棱锥的内切球半径为，则由等体积法可得：

，即，

解得，

所以内切球的表面积为，

故答案为：．

24．（2020秋•宿州期末）已知直三棱柱，，，，则此直三棱柱外接球的表面积为　　．

【解析】解：如图，

在直三棱锥中，，，

，即，

直三棱柱的底面为等腰直角三角形，

把直三棱柱补成正四棱柱，

则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

设，分别为，的中点，则的中点为球心，

球的半径为，

此直三棱柱外接球的表面积为．

故答案为：．

25．（2020秋•淮南期末）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　．

【解析】解：根据题意，长方体的8个顶点都在同一球面上，

则长方体的体对角线就是球的直径，

因为长方体的长、宽、高分别为，，1，

所以长方体的体对角线的长为，

故球的半径，

所以球的表面积．

故答案为：．

26．（2020秋•吕梁期末）四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥底面为正方形，且，面，，则该球的体积与四棱锥体积之比为　　．

【解析】解：设此球半径为，

因底面是边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为：，

可以把四棱锥补成一个以为底、为侧棱的长方体，

则这个长方体的外接球就是四棱锥的外接球，球心就是的中点，

，，

则该球的体积为．

该球的体积与四棱锥体积之比为：．

故答案为：．

27．（2020秋•阎良区期末）表面积为的球，其内接正方体的表面积为　96　．

【解析】解：设球的半径为，则有，解得，

设正方体的棱长为，则有，

解得，

所以正方体的表面积为．

故答案为：96．

28．（2020秋•江宁区期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且、、两两垂直，，，，则该三棱锥的体积为　10　，球的表面积为　　．

【解析】解：由，，两两垂直，是长方体的一个角，三棱锥的体积为：，

三棱锥扩展为长方体，

长方体外接球直径为其体对角线长，

可得球直径为：，

，

故答案为：10；．