第25讲 空间向量与立体几何-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第25讲 空间向量与立体几何

【知识点总结】

一、空间向量的数量积运算

1.两向量夹角

已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作.

2.数量积定义

已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，.

3.空间向量的数量积满足的运算律：

，（交换律）；

（分配律）.

二、空间向量的坐标运算及应用

（1）设，，则；

；

     ；

     ；

     ；

     .

（2）设，，则.

 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知，，则；

；

；

；

②已知，，则,

或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量在向量上的射影为.

（5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.

（6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则.

（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即.

（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

（10）空间角公式.

①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.

②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为

与所成角的大小，则.

③二面角公式：

设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.

（11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.

（1）证明：平面ABD；

（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.

例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结.

（1）证明：平面；

（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值.

例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.

（1）求点到直线的距离；

（2）求直线到平面的距离.

例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．

（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习（理））在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，中点为，则二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱的底边长为2，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为

A． B．

C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A． B．

C． D．

9．（2021·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为________.

三、解答题

11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．

（1）求异面直线和所成角的大小；

（2）求直线和平面所成角的大小．

12．（2022·天津南开·高三期末）如图，四棱锥中，底面，，，，，E为上一点，且.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求平面与平面的夹角的大小.

13．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.且Q为线段的中点

（1）求直线与所成角的大小；

（2）求直线与平面所成角的大小

14．（2022·上海·高三专题练习）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.

（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；

（2）求点B1到平面PAC的距离.

15．（2022·上海·高三专题练习）如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,分别为棱的中点.

（1）求证:、、、四点共面；

（2）求异面直线与所成的角.

16．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值．

17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，在底面ABC上的射影是BC的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

18．（2022·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱的上、下底面的顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心为与的交点.

（1）求证:平面；

（2）若圆柱底面半径为，母线长为，求直线与平面所成角的正切值.

19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（2022·全国·高三专题练习（理））如图1，直角梯形ABCD中，，，．如图2，将图1中沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为．对于图2的几何体．

（1）求证：；

（2）求DE与平面DAC所成角的正弦值．

21．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、、、分别为、、、的中点.

（1）证明：平面；

（2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值.

22．（2022·全国·模拟预测）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且是的中点.

（1）求点到平面的距离；

（2）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.

25．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥底面是矩形，面，，、是棱、上的点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）棱上是否存在点，使面？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．

26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且.

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

28．（2022·河北·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.

（1）若F为棱的中点，求证：平面；

（2）（i）求证平面；

（ii）设Q为棱上的点(不与C，P重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

29．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.

（1）求二面角的大小；

（2）求异面直线与的距离；

（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的长.

31．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．

（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；

（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．

32．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的平面角的余弦值．