2022届优质校一模试卷专题汇编8 数列 解析版

这是一份2022届优质校一模试卷专题汇编8 数列 解析版，共25页。试卷主要包含了等差、等比数列的性质，前项和公式变形，判断和证明数列是等差数列的方法，数列求和的方法技巧，已知数列满足，，等内容，欢迎下载使用。

专题 8
××

数列





方法点拨

1．等差、等比数列的性质

等差数列
等比数列
性质
（1）若，且，则；
（2）；
（3） 仍成等差数列
（1）若，且，则；
（2） 仍成等比数列
2．前项和公式变形
（1）前项和公式法：(为常数)是等差数列；(为常数，，)是等比数列．
（2）等差数列中，和的关系：，即，等比数列中与的关系为，即．
3．关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质
（1）若项数为，则；
（2）若项数为，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an；
（3）两个等差数列、的前项和之间的关系为．
4．判断和证明数列是等差(比)数列的方法
（1）定义法：对于的任意自然数，验证为与正整数n无关的一常数．
（2）中项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列．
5．数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（4）裂项相消求和
裂项相消法求数列和的常见类型：
①等差型，其中是公差为的等差数列；
②无理型；
③指数型；
④对数型．

试题汇编

一、选择题．
1．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三一模）我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）晷长是（ ）

A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
3．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）若数列为等差数列，且，，
则（ ）
A． B． C． D．
4．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若等比数列满足，，
（ ）
A． B． C．8 D．64
5．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）记为等比数列的前项和．
若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设数列前n项的乘积．若数列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（宁夏银川市贺兰县景博中学2021届高三一模）已知数列满足，，
记为正项等比数列的前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．n
8．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）已知数列为等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
9．（江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三一模）等差数列前项和为，，则（ ）
A．32 B．42 C．52 D．62
10．（多选）（福建省泉州市2021届高三一模）记等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C．的最大值为30 D．的最大值为15
11．（四川省乐山市高中2022届一模）在等比数列中，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
12．（江西省九江市2021届高三一模）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
13．（四川省内江市高中2022届一模）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，前n项和为，则（ ）
A．数列是公比为4的等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是公差为1的等差数列 D．，，仍成等比数列
14．（山西省2019-2020学年高三一模）已知等差数列的公差不为0，中的部分项成等比数列．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）已知数列的前n项和，，则k的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
16．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）已知数列的前项和为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
17．（贵州省遵义市2021届高三一模）数列的前项和，若为和的等差中项，则（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
18．（陕西省铜川市第一中学2021-2022学年高三一模）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
19．（陕西省汉中市2022届高三一模）一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数组成数列，则此数列各项的和为__________．
20．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为_________．
21．（吉林省长春市2022届高三一模）若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比________．
22．（广西柳州市2022届高三一模）已知正顶等比数列{}中，，记数列{}的前n项和为Tn，则T20=________．
23．（四川省乐山市高中2022届一模）在等差数列中，，，若数列的前项和为，则___________．
24．（安徽省池州市2021届高三一模）已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则数列前2021项和为_________．

三、解答题．
25．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知为数列的前项和，且，(，为常数)，若，．求：
（1）数列的通项公式；
（2）的最值．













26．（江苏省2021年对口高考单招一模）已知等差数列的公差为2，其前n项和，．
（1）求实数p的值及数列的通项公式；
（2）在等比数列中，，，若的前n项和为，求证：数列为等比数列．














27．（西南名校联盟2022届“3 3 3”高考（-））设是数列的前项和，，，
当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．











28．（衡水金卷2021-2022学年度高三一模）已知数列的前项和为，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．











29．（安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高三一模）已知数列满足，
且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．










30．（广东省2021届高三一模）记为数列的前项和，已知，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，证明：，．
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：+1，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．














31．（江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高三一模）已知数列的前项和为，且，________．
请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．














32．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．










33．（四川省内江市高中2022届一模）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知是等差数列，其前n项和为，，______，是否存在正整数m，n，，使得成立？若存在，求出正整数m，n满足的关系式；若不存在，请说明理由．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．










34．（广西柳州市2022届高三一模）①已知数列{}是递增的等差数列，它的前三项和为9，
前三项的积为15．
②已知正项数列{}的首项，当n≥2时，有．
③已知函数，把方程的正数解从小到大依次排一列，得到数列{}，．
请从以上三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）记，设数列{}的前n项和为Tn，求证：．
(注：若选择多个条件作答，则按第一个解答计分)










参考答案

一、选择题．
1．【答案】D
【解析】因为等差数列中，，，
所以，解得，
，故选D．
2．【答案】B
【解析】先取上半年进行研究，设晷影长为等差数列，公差为，
则，，，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为：，
夏至之后的那个节气（小暑）晷长为二尺五寸，故选B．
3．【答案】C
【解析】，，
，故选C．
4．【答案】A
【解析】设数列的公比为，，解得，，
，故选A．
5．【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
由，可得，
所以，
因此，故选A．
6．【答案】B
【解析】由题意，
对二次函数，其对称轴是，
四个选项中只有B选项满足，故选B．
7．【答案】B
【解析】在等式中，令，可得，即，
所以，数列是首项和公差均为的等差数列，则，
所以，，
设等比数列的公比为，则，因为，可知对任意的，，
由等比中项的性质可得，则，即，
所以，数列是公比为的等比数列，则，
故，因此，，
故选B．
8．【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，所以，
所以，故选B．
9．【答案】C
【解析】等差数列中，∴，
从而，，故选C．
10．【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，
则由题可得，解得，
，，
，故A正确；
，故B错误；
当或4时，取得最大值为30，故C正确；
由于，所以的最大值为，故D正确，
故选ACD．
11．【答案】C
【解析】由等比数列性质知，，，，成等比数列，
其首项为，公比为，所以，
故选C．
12．【答案】D
【解析】①，②，
②①得③，则④，
④③得，因此数列为等比数列，故选D．
13．【答案】C
【解析】因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，
由，则，
所以数列是公比为2的等比数列，所以A不正确；
由，结合指数函数的性质，可得数列是递减数列，所以B不正确；
由，可得，
所以数列是公差为1的等差数列，所以C正确；
由，可得，则，
可得，
则，所以，，不能构成等比数列，所以D不正确，
故选C．
14．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，则，
由已知，所以，
即，得，
于是，在等比数列中，公比．
由，为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
所以，故，所以．
15．【答案】C
【解析】由题设，当时，，
又，∴，可得，
故选C．
16．【答案】A
【解析】当时，因为，所以，
当时，，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
故选A．
17．【答案】C
【解析】，
，且也符合，
所以是公比为3的等比数列，由为3和的等差中项知，
所以，故选C．
18．【答案】A
【解析】因为，所以，
所以
，
所以，故选A．

二、填空题．
19．【答案】
【解析】，，，
，，，
，，
所以，故答案为．
20．【答案】65
【解析】由，知，
则，得，
∴，
而，∴，
故数列的前10项和为，
故答案为65．
21．【答案】2
【解析】因为数列是等比数列，所以，
又因为，解得或，
由无穷等比数列的各项均大于1可知，所以，
因为，即，解得，
故答案为2．
22．【答案】40
【解析】由题意得：由等比数列的公式，
，
又，
，
故答案为40．
23．【答案】
【解析】设等差数列公差为d，由题可知，解得，
则．
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以，
故答案为．
24．【答案】
【解析】是以为首项，以为公差的等差数列，所以，
由，可知，

．

三、解答题．
25．【答案】（1）或；（2）当时，的最小值为3，无最大值；
当时，的最大值为12，无最小值．
【解析】（1）在数列中，，(，为常数)，
则数列是等差数列，公差为，
由，得，
又，即，于是有，或，
由，得，，此时，；
由，得，，此时，，
所以数列的通项公式是或．
（2）当时，，显然是关于正整数的增函数，
所以为的最小值，无最大值；
当时，，而为正整数，
则当或时，有最大值，无最小值，
所以是的最大值，无最小值．
26．【答案】（1）1，；（2）证明见解析．
【解析】（1），
又，，
所以，，即，
所以．
（2）因为，，所以，
所以，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
27．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，由可得，两式作差得，即，
但，故数列是从第二项开始成以为公比的等比数列，
则，
综上所述，．
（2），则，则，所以，，
因此，
．
28．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，，即，，
解得，，
当时，，与联立，
得，所以，
又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得，所以，，
所以，
所以．
29．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为，所以，
所以，所以数列是首项为2，公差的的等差数列．
（2）由（1）知，所以，
所以，
．
30．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）若选条件①：，①；
当时，②，
①②得：，所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以（首项符合通项），所以．
选条件②：，①；
②，
①②得：（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以（首项符合通项），所以．
选条件③：，．
所以（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以，整理得，
故，
当时，符合，故．
证明：（2）由于，
所以，
则．
31．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
选①．由，得，即，
所以，解得，
所以，
即数列的通项公式为．
选②．由，，成等比数列，得，
则，所以，
所以．
选③．因为，
所以，所以，
所以．
（2）由题可知，所以，
所以，
两式相减，得
，
所以．
32．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）方法1：设数列的公差为d，
由题意得：，解得，，
故．
由可得，
即有或（舍），
从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得．
（2）由（1）得，
①，
②，
①②得：
，
故．
33．【答案】存在；．
【解析】设等差数列的公差为d，
若选择条件①：∵，∴，
即，
又∵，即，∴，得，，
当时，，
∴，即，
∵，∴，
∴存在正整数m，n，当时，使得成立．
若选择条件②：∵，∴，∴，
由，即，可得，
当时，，
∴，即，
∵，∴，
∴存在正整数m，n，当时，使得成立．
若选择条件③：∵，∴，
即，即，
又∵，即，∴，，
当时，，
∴，即，
∵，∴，
∴存在正整数m，n，当时，使得成立．
34．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）若选①：
设递增等差数列的公差为，
前三项的和为9，前三项的积为15，
，，解得，，
．
若选②：
，
，
，
是以为首项，2为公差的等差数列，．
若选③：
由题知，，，
则，解得，
∴数列为，3，5，，，
∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴．
（2），
∴﹒