2022届优质校一模试卷专题汇编10 解析几何 解析版

这是一份2022届优质校一模试卷专题汇编10 解析几何 解析版，共38页。试卷主要包含了圆锥曲线中的最值，定点、定值问题，圆锥曲线中范围、最值的求解策略，定点问题的过定点问题的解法，求解定值问题的两大途径，解决探索创新问题的策略，当的面积最大时，等内容，欢迎下载使用。

专题 10
××

解析几何





方法点拨

1．圆锥曲线中的最值
（1）椭圆中的最值
为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：
①；
②；
③；
④．
（2）双曲线中的最值
为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有：
①；②．
（3）抛物线中的最值
点为抛物线上的任一点，为焦点，则有：
①；
②为一定点，则有最小值．
2．定点、定值问题
（1）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式：，则直线必过定点．
（2）解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
3．圆锥曲线中范围、最值的求解策略
（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解．
（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
4．定点问题的过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点．
（2）动曲线过定点问题的解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
（3）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
5．求解定值问题的两大途径
（1）首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
6．解决探索创新问题的策略
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．

试题汇编

一、选择题．
1．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（山西省大同市天镇县实验中学2021-2022学年高三一模）圆与直线的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
4．（吉林省长春市2022届高三一模）已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（河南省联考2021-2022学年高三一模）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）已知抛物（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（河南省联考2021-2022学年高三一模）点为抛物线的焦点，为其准线，过的一条直线与抛物线交于，两点，与交于点．已知点在线段上，若，，按照某种排序可以组成一个等差数列，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．（贵州省遵义市2021届高三一模）双曲线上一点到右焦点距离为，为左焦点，则的角平分线与轴交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（吉林省长春市2022届高三一模）已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（ ）
A．若，则的离心率为
B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切
C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标
D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小
14．（江西省赣州市2021届高三3月一模）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
16．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知平行于轴的一条直线与双曲线相交于，两点，，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三一模）已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
18．（四川省乐山市高中2022届一模）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
20．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
21．（广西柳州市2022届高三一模）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
22．（贵州省遵义市2021届高三一模）直线与圆交于两点，则最小值为________．
23．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________．
24．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________．
25．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）设直线交椭圆于A，B两点，将x轴下方半平面沿着x轴翻折与x轴上方半平面成直二面角，则的取值范围是___________．
26．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为________．

三、解答题．
27．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知两圆，，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，关于轴的对称点为，求面积的最大值．











28．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上．记，的面积分别为，，求的取值范围．














29．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．










30．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当时，求的面积；
（3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．











31．（江西省赣州市2021届高三3月一模）设离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，点P在E上，且满足，的面积为．
（1）求a，b的值；
（2）设直线与E交于M，N两点，点A在x轴上，且满足，求点A横坐标的取值范围．











32．（广西柳州市2022届高三一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，的面积为﹐点为椭圆的下顶点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点，(异于椭圆顶点且与轴不垂直)．当的面积最大时，
直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．










33．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知圆锥曲线上的点的坐标满足．
（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．
①求直线在轴上的截距的取值范围；
②求证：的平分线总垂直于轴．















34．（四川省乐山市高中2022届一模）如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于､两点，判断是否存在直线，使点恰为的重心？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由．











35．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．











36．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）已知椭圆，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径．特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径．现已知椭圆．
（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标；
（2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由；
（3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为．已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围．









参考答案

一、选择题．
1．【答案】C
【解析】由，可得，
因为两直线的交点位于第一象限，所以，解得，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
所以直线的倾斜角的取值范围是，故选C．
2．【答案】A
【解析】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，

则，，，
则，且为锐角，所以，
同理可得，
所以，，则为等边三角形，连接交于点，
为的角平分线，则为的中点，，
且，，
若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，
即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，
因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选A．
3．【答案】C
【解析】，即，圆心，半径．
，当时，，即直线过定点，
，点在圆内，故直线与圆相交，故选C．
4．【答案】C
【解析】易知为切点，所以，
所以直线的斜率为，所以，
令，则，故选C．
5．【答案】A
【解析】依题意，圆的圆心，
因点为圆的弦的中点，则有，
而直线OP斜率为，于是得直线AB斜率，
又直线过，因此有，即，
所以弦所在直线的方程为，故选A．
6．【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为，
，
，
由于，所以．
设是的中点，则，
设，则，即的轨迹为单位圆，
原点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离．
所以，所以的最大值是，故选D．

7．【答案】D
【解析】因点P，Q是双曲线左支上的点，且双曲线实半轴长为1，
由双曲线定义知，，，
而点F1在弦PQ上，将两式相加得，即，，
∴的周长是，故选D．
8．【答案】D
【解析】由题意可知，，设，，
则，，
因为，且，，三点共线，则由，可得，
所以，即，
解得或（舍），
所以，
设直线的方程为，与抛物线方程联立，
得，消去得，则，所以，
则，
所以，故选D．
9．【答案】A
【解析】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或，故选A．
10．【答案】D
【解析】在线段上，

，．
①当时，作于，于，
，，成等差数列，
不妨设，，，
由抛物线的定义知，，，
，，即，
，．
②当时，同理可设，，，
由抛物线的定义知，，，
，，即，化简可得，
，
综上，所有可能值为或，故选D．
11．【答案】D
【解析】记交点坐标为D，用面积法，化简可得角平分线定理：，
由双曲线定义知，所以交点到左焦点距离是右焦点距离2倍，
由于左焦点，右焦点，D坐标，，
可得答案为，故选D．
12．【答案】C
【解析】过作垂直准线，为垂足，，所以，
（当且仅当纵坐标相等时取等号），
故选C．

13．【答案】ABD
【解析】对于A中，因为，所以，故的离心率，所以A正确；
对于B中，因为到渐近线的距离为，所以B正确；
对于C中，设内切圆与的边分别切于点，
设切点，
当点在双曲线的右支上时，可得
，
解得，
当点在双曲线的左支上时，可得，
所以的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确；
对于D中，由正弦定理，可知外接圆的半径为，
所以当最大时，最小，
因为，所以为锐角，故最大，只需最大，
由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
又由
，
当且仅当，即时，取最大值，
由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确，
故选ABD．
14．【答案】A
【解析】因为直线与双曲线没有公共点，
所以双曲线的渐近线的斜率，
而双曲线的离心率，
当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，
则双曲线的方程为，
设、、，则，
两式相减得，即，
即，
又，，故选A．
15．【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
因为渐近线方程为，所以，
故可得，故选B．
16．【答案】D
【解析】如图，由题可知，是等边三角形，
，，
将点P代入双曲线可得，可得，
离心率，故选D．

17．【答案】C
【解析】抛物线的交点坐标为，
又双曲线与抛物线共焦点，双曲线的半焦距，
三角形的面积为，且，，，即，
有，或，
双曲线的离心率为或，故选C．

18．【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，圆心为，半径为，
根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，
设，，则，
由，可得，
所以，所以，所以，故选B．

19．【答案】A
【解析】联立，可得，则，
易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，
又因为为等腰直角三角形，所以，即，
即，所以，可得，
因此，该双曲线的离心率为，故选A．
20．【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为．
设左焦点为，连接，由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，，故选A．

21．【答案】C
【解析】设，则，
由双曲线的定义可得，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，即，解得，
在中，，，，
由可得，即，
所以双曲线离心率为，故选C．


二、填空题．
22．【答案】
【解析】直线过定点过，
因为点在圆的内部，且，
由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，
此时结合垂径定理可得，
故答案为．
23．【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，
故抛物线的标准方程为，故答案为．
24．【答案】
【解析】由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，
所以，解得，
所以四边形的面积为，
故答案为．
25．【答案】
【解析】设，联立方程组，可得，
可得，所以，
将椭圆x轴下方半平面沿着x轴翻折与x轴上方半平面成直二面角，
分别作于点，如图所示，
则，
又由，
，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，所以，
所以的取值范围是，故答案为．

26．【答案】
【解析】设直线的方程为，
联立，得，
即，
由，得，
设，，，
则，，
即，
则直线OM的斜率为，故答案为．

三、解答题．
27．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
设圆的半径为，则有，，
因此，，
于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，
此时，焦距，短半轴长b有，
所以动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由，消去得，
则，，
点关于轴的对称点，
，，如图，

显然与在3的两侧，即与同号，
于是得
，
当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，
所以面积的最大值．
28．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴（为半焦距），
∵直线与圆相切，∴，
又∵，∴，，
∴椭圆的方程为．
（2）∵为线段的中点，∴．
（ⅰ）当直线的斜率不存在时，
由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得．
则，，∴；
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，
，，
由，消去，得，
∴，即．
∴，．
∵点在以为直径的圆上，∴，即，
∴，
∴．
化简，得，经检验满足成立，
∴线段的中点，
当时，，此时；
当时，射线所在的直线方程为，
由，消去，得，，
∴，
∴，∴，
综上，的取值范围为．
29．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）在中，，
所以，由余弦定理，解得，
所以，椭圆方程为．
（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为，
设，联立，
，
又因为，所以，即，
即，
将代入化简得，
即，
计算得，所以存在点使得．
30．【答案】（1）；（2）面积不存在；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，即，
因为离心率为，所以，设，则，，
又，即，解得或（舍去），
所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由，得，
，，
所以直线与椭圆无交点，故的面积不存在．
（3）由题意知，直线l的方程为，设，，
则，整理得，

则，
因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，
设，因为，T，M在同一条直线上，则，
因为，T，N在同一条直线上，则，
由于，所以，
则交点T恒在一条直线上，故交点T的纵坐标为定值．
31．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设椭圆短轴的端点为B，则，所以，，
所以点P即为点B，所以，
又，，所以，．
（2）设，，，的中点，
由，得，
所以，
又，所以，所以，
所以，，即，
因为，
所以，
所以，得，
因为，所以，当且仅当时取“=”号，
所以，
故点A的横坐标的取值范围是．
32．【答案】（1）；（2），理由见解析．
【解析】（1）由题意可得：在中，，
即，所以，
椭圆：中，令可得，
所以，可得，
所以，
所以，
因为，，所以，
可得，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
由，可得，
，即，
，，
所以
，

，
点到直线的距离，
所以的面积为
，
当且仅当即时等号成立，
，
所以当的面积最大时，直线与的斜率之积是．
33．【答案】（1）是以，为焦点，长轴长为的椭圆，标准方程为；（2）①；②证明见解析．
【解析】（1）圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
其标准方程为．
（2）①设直线：，，，
由，消去，得，
由题意，有，解得，
所以直线在轴上的截距的取值范围为．
②因为点在椭圆上，若直线过点，即点（或点）与重合，
则与的另一个交点为，不合题意，所以点（或点）与不重合；
若或的斜率不存在，则直线过点，此时，与只有一个交点，
所以与的斜率都存在，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，在轴的右侧，结合图象，可知，
要证的平分线总垂直于轴，只要证，
因为，，也即证，
而
成立，
故的平分线总垂直于轴．
34．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）由题可知，，，，
因为，则，解得，
故有，解得，，
椭圆方程为．
（2）法一：假设存在，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，
因为为的重心，则，解得，
则，化简得，解得，
所以直线．
法二：设，，
因为为的重心，则，解得，
设的中点，则，
因为，在椭圆上，则，
两式相减得，即，
所以直线．
35．【答案】（1），（2）．
【解析】（1）因为离心率为，所以，
又，所以，解得，，
又，所以，
所以椭圆方程为．
（2）由（1）知，，
设直线的方程为，，，
因为与关于原点对称，所以，
所以，，
若存在，使得恒成立，所以，
所以，
两边同乘得，
又因为在椭圆上，所以，
所以，
所以，
当时，则，
所以①；
当时，与重合，
联立方程，消元得，所以，
所以，，
代入①得，
整理得，解得．
36．【答案】（1）和；（2）直径与直径共轭，理由见解析；（3）或．
【解析】（1）由题设知，
设所求直线方程为，则，则，
故共轭直径所在直线方程为．
联立椭圆与，即可得，，
故端点坐标为和．
（2）由题设知，不与轴重合，故设：，､，
联立方程，
则，，，
，
当且仅当，即时取等号，
此时，故直径与直径共轭．
（3）设点，，
当不与坐标轴重合时，设：，则：，
联立，
同理可得，．
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，则必在第二象限或第四象限，
则，，
若在第二象限，则，，
从而，
则．
又在椭圆外，则，
化简可得，即，或．
若在第四象限，同理可得，即或．
当与轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取，，则．
又在椭圆外，则，即，或，
综上：或．