(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题08 数列求和及综合应用（解析+原卷）学案

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一．考情分析
二．热点题型归纳
【题型一】递推关系问题
【题型二】数列的求和
【题型三】与数列有关的综合问题
三．最新模考题组练
【考情分析】
【题型一】递推关系问题
【题组练透】
1．（2021·福建三明市·三明一中高三模拟已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为( )
A．B．C．D．
2．（2021·福建省厦门第六中学高三模拟）数列满足，且，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东菏泽市·高三模拟）在数列中，，，则
A．B．C．D．
4．（2021·浙江绍兴市·高三二模）数列中，，，则______.
5.（2021·山东济南高三模拟）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
【提分秘籍】
求数列通项公式的常见类型及方法
(1)已知Sn与an的关系,利用an=，求an;
(2)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法);
(3)累乘法:数列递推关系形如an+1=f(n)an,其中数列{f(n)}前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法);
(4)形如an+1=pan+q(pq≠0)型常借助an+1+t=p(an+t)与已知关系相等,求出t=(p≠1),构造等比数列求通项公式;
(5)周期数列:若一个数列为周期数列,则通过观察法判断出数列的前部分项,寻找规律,求通项公式.
【题型二】数列的求和
【典例分析】
【例1】（2021·山东德州市·高三一模）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【例2】（2021•全国乙卷T19）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【提分秘籍】
1.错位相减法求数列前n项和的适用条件及关注点
(1)适用条件:如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成,那么这个数列的前n项和可用此法来求,即求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(2)关注点:①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
注意:在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,要分公比等于1和不等于1两种情况求解.
2.裂项相消法求数列前n项和的方法
(1)原理:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
注意:在相加抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵消,特别是间隔抵消时要注意规律性.
(2)常见的可以使用裂项相消法求和的形式:
3.分组转化法求数列前n项和的常见类型
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
【变式演练】
1．（2021·四川成都市·川大附中高三模拟）已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求．
2．（2021·江苏南通市·高三模拟）在①成等比数列，②，，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
问题：已知数列是公差为正数的等差数列，___________，数列的前n项和为，是否存在m，使恒成立？若存在，求出所有的正整数m；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【题型三】与数列有关的综合问题
【典例分析】
【例3】（2021·山东泰安市·高三模拟）已知等比数列的前n项和为．
（1）求的公比q；
（2）对于，不等式恒成立，求实数t的最大值．
【提分秘籍】
1.涉及数列与不等式有关的恒成立问题,应注意转化为数列的最值问题,一般是根据数列的单调性求数列的最值,若数列的通项公式是关于n的函数,且单调性易判断则直接判断单调性求最值,若无法直接判断则利用an+1-an>0或an+1-an<0判断数列的单调性.
2.与数列有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果.
【变式演练】
（2021·湖南长沙市·长郡中学高三一模）已知等差数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足，求数列的前项和.
1．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三模拟）已知数列中，，，则（ ）
A．B．9C．D．10
2．（2021·贵州贵阳市·高三二模）对于函数，部分x与y的对应关系如下表：
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）
A．7576B．7575C．7569D．7564
3．（2021山东泰安高三模拟）已知函数，若公比为等比数列满足，，则______.
4.（2021·山东潍坊高三模拟）已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．
5．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三模拟）已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求.
6．（2021·山东济南高三模拟）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.
7．（2021·山东烟台市·高三一模）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2021·山东聊城一中高三一模）已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前26项和．
9．（2021·黄冈中学高三三模）已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
10．（2021·湖北武汉市·高三三模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和为Tn.数列(n为正整数)
裂项方法
{} (k为非零常数)
=(-)
{}
=(-)
{}
=-
{lga(1+)}
(a>0,a≠1)
lga(1+)
=lga(n+1) -lgan
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…
3
7
5
9
6
1
8
2
4
…