(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题01 函数的图象和性质（解析+原卷）学案

专题01  函数的图象和性质

目录

一．考情分析

二．热点题型归纳

【题型一】函数及其表示

【题型二】函数的图象及应用

【题型三】函数的性质及应用

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.考查特点:高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择题、填空题的形式考查,难度一般;主要考查函数的定义域、值域的求法,分段函数求值与解不等式问题,函数图象的判断及函数的奇偶性、单调性、周期性等.

2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力.

3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.

【题型一】函数及其表示

【典例分析】1．（2021·北京市第四十三中学高三月考）函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得：得且，所以函数的定义域为，故选：B

2．（2021·江西高三模拟）设函数，若，则（    ）

A．或2 B．2或3 C．或3 D．或2或3

【答案】A

【解析】当时，，，；

当时，，，解得（舍去），，故选A．

【提分秘籍】1.高考常考定义域易失分点：

(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；

(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.

2.高考常考分段函数易失分点：

(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；

(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化.

【变式演练】1．(2021·山东省实验中学高三模拟)若的定义域为，，则函数的定义域是　　

A．， B．， C．，， D．

【答案】D

【解析】由的定义域为，，令，

解得，函数的定义域是．故选：．

2．（2021·辽宁高三模拟）已知函数，则___________.

【答案】32

【解析】

.故答案为：32

【题型二】函数的图象及应用

【典例分析】（1）函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为(　　)

（2）(2021·合肥调研)已知函数f(x)＝ 若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1，8)，则实数m的值为________.

【答案】（1）D （2）1

【解析】（1）∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；

∵f(π)＝＝>0，∴排除C；

∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.

（2）作出f(x)的图象，如图所示，可令x1<x2<x3，则由图知点(x1，0)，(x2，0)关于直线x＝－对称，所以x1＋x2＝－1.又因为1<x1＋x2＋x3<8，所以2<x3<9.结合图象可知A点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log2(9－m)，解得m＝1.

【提分秘籍】

1.图像的识别：已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.

2.图像的应用：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

【变式演练】

1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）下列四个图象可能是函数图象的是（    ）

A．B．C． D．

【答案】C

【解析】∵的定义域为，

其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，

∵为奇函数，图象关于原点对称，

∴的图象关于点成中心对称.

可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C

2.（2021·北京石景山区·高三一模）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出，在上的图象如下图所示：

因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），

且，令，所以，所以，

根据图象可知：当经过点时，有最小值，，

当经过点时，有最大值，，

综上可知的取值范围是，故选：C.

【题型三】函数的性质及应用

【典例分析】(1)3.（2021•新高考Ⅱ卷T8）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　）

A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0

【答案】B

【解析】由题意，f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）＝f（﹣x），

f（2x+1）为奇函数，可得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），

令F（x）＝f（2x+1）为奇函数，

可得F（0）＝f（1）＝0，

∴f（﹣1）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝0，

即f（﹣x）＝﹣f（x+2），

∴f（x+4）＝﹣f（x+2），

易知f（x）的周期T＝4，其他选项的值不一定等于0．

即f（﹣1）＝0，故选：B．

（2）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：或或

解得或，所以满足的的取值范围是，故选D.

【提分秘籍】

高考常考函数四个性质的应用：

(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；

(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；

(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；

(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.

【变式演练】

1.（2021•甲（理）卷T12）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【答案】D

【解析】∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），

∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），

∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），

∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．

令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），

∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．

当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．

f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，

f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，

又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，

∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，

∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，

∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2×+2）＝．故选：D．

1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是（    ）

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

【答案】C

【解析】因为f(x)＝＋lg(1＋x)，

所以需满足，

解得且，

所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C

2．（2021·天津南开中学高三模拟）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B

3．（2021湖北襄阳五中高三模拟）若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A．ex－e－x B． (ex＋e－x)

C． (e－x－ex) D． (ex－e－x)

【答案】D

【解析】∵为定义在R上的偶函数，∴，

又∵为定义在R上的奇函数，，

由，

∴. 故选：D.

4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，

而，

故.故选：C.

5．（2021·江苏南京外国语高三模拟）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可知，当时，，

取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，

当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,

故选：C

6．（2021·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，故选：D.

7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模）已知函数，则实数根的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】，

解得：或，

或或或

解得：或，

方程实数根的个数为2个，故选：A.

8．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K区间”，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．（，1]

【答案】C

【解析】为减函数，所以

两式相减化简得 代人 ,得

问题转化为函数与函数有两个交点

结合图像可知故选：C

9．（2021·浙江镇海中学高三模拟）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（    ）

A．若在、时刻满足：，则

B．如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降

C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值

D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值

【答案】ABD

【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；

在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；

捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，

同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，

所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；

当捕食者数量最大时在图象最右端，，，

此时二者总和，由图象可知存在点，，

，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，

被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，

故选：ABD.

10．（2021·江阴市第二中学高三模拟）设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若为R上的增函数，则

C．若，则

D．函数为R上奇函数

【答案】AB

【解析】对于选项A，因为，所以，所以选项A正确；对于选项B，欲使得该函数为增函数，则满足，解得，所以选项B正确；对于选项C，使得，此时且，与条件不符，所以选项C错误；对于选项D，该函数为非奇非偶函数，所以选项D错误，综上只有选项AB符合题意，故选AB．

11．（2021·重庆南开中学高三模拟）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是　　

A．函数在，上有两个零点

B．函数是偶函数

C．函数在，上单调递增

D．对任意的，都有

【答案】AB

【解析】当，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆

当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，

当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，

作出函数的图象如图，

函数值域为，，则函数与直线的图象在，上有2个交点，故正确；

函数为偶函数，故正确；

由图可知，函数在，上单调递减，故错误；

由图，当时，，，此时，故错误故选：．

12．（2021·江苏连云港市·高三模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（    ）

A．为奇函数 B．为周期函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】ABC

【解析】由题意知：且，

∴，即，可得，

∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；

由上知：，即为奇函数，C正确.

故选：ABC.

13．（2021·山东滕州一中高三模拟）若函数，则=__________．

【答案】

【解析】令，可得，所以．故答案为：.

14．（2021·山东省成武第一中学高三二模）若函数满足定义域为，值域也为，就称为“优美函数”.试写出能满足“若是优美函数，则”为假命题的一个函数是______.

【答案】

【解析】根据题意，不妨令，该函数定义域，值域与定义域相同，

是优美函数，但没有意义，即可说“若是优美函数，则”为假命题

本题答案不唯一.本题选择.故答案为：.

15．（2021·江苏南京师范大学附中高三模拟）定义在上的函数满足下列两个条件（1）对任意的恒有成立；（2）当时，．则的值是__________．

【答案】

【解析】因为对任意的恒有成立，

所以有：，

又因为当时，，所以，

所以故答案为：

16．（2021·武邑武罗学校高三模拟）若函数（且）的值域为，则________；实数的取值范围为________.

【答案】5       

【解析】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为.