(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题09 空间几何体表面积与体积的计算（解析+原卷）学案

专题09  空间几何体表面积与体积的计算

目录

一．考情分析

二．热点题型归纳

【题型一】空间几何体的表面积与体积

【题型二】与球有关的切接问题

三．最新模考题组练

【考情分析】

1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题形式考查,难度为中档,主要考查柱、锥、球的表面积与体积以及空间几何体与球的切接问题.也常与数学文化或社会实际问题相结合命题.

2.关键能力:运算求解能力、空间想象能力.

3.学科素养:直观想象、数学运算.

【题型一】空间几何体的表面积与体积

【题组练透】

1．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，

根据题意，可得，解得，所以，

故该冰激凌的体积.故选：A.

2．（2021·江苏南通市·高三模拟）某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱(如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上)，灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，则该灯箱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，所以长方体的体积.
因为灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，
所以四个缺口相当于切掉了四个以，，为棱长，且互相垂直的正三棱锥，
所以四个缺口的体积，从而该灯箱的体积为.故选：C

3．【多选】（2021•河北沧州三模）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为边长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则　　

A．该玉琮的体积为 

B．该玉琮的体积为 

C．该玉琮的表面积为 

D．该玉琮的表面积为

【答案】BD

【解析】由图可知，组合体的体积，

组合体的表面积．故选：．

4．（2021·遵义市第十八中学高三模拟）如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为________．

【答案】.

【解析】在正三棱柱ABC­A1B1C1中， AB＝3，所以，

因为平面，所以

三棱锥P­ABA1的体积等于三棱锥C­ABA1的体积，

又三棱锥C­ABA1的体积等于三棱锥A1­ABC，即为S△ABC·AA1＝××3＝.故答案为：.

【提分秘籍】

1.求空间几何体的表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何问题的主要出发点.

2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积.

3.求三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.

4.求不规则几何体的体积:常用分割或者补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

【题型二】与球有关的切接问题

【典例分析】

（2021•全国甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以底面为等腰直角三角形，

所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，

在中，，则，

在中，，

故三棱锥的体积为．故选：．

已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为

A．  B．   C．    D．

【答案】A

【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，

得，为等边三角形，

由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的表面积.故选：A.

【提分秘籍】

1.解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或者长方体的方法找到球心的位置.

2.求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径.

【变式演练】

1．（2021·江苏连云港市·高三模拟）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】上层轮廓近似正四棱锥如下图示，若为底面中心，为内切球球心，面且为中点，令内切球半径为，，

∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，

∴，即，故，则，

又∵，即，

∴，故正四棱锥的底面边长与内切球半径比为.故选：D

2.【多选】（山西省临汾市2021届高三二模）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是　　

A．体积之比 B．体积之比 C．表面积之比 D．表面积之比

【答案】AD

【解析】设球的半径为，

则圆柱的底面半径为，高为，

，．

；

，．

．故选：．

1．（2021·山师大附中高三模拟）已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（    ）

A．64π B．48π C．32π D．16π

【答案】C

【解析】由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，

圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长

扇形面积为：故选：C

2．（2021·江苏南京高三模拟）水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据“斜二测画法”可得，，，

绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，

它的表面积为.故选:

3. （2021·山东枣庄高三模拟）“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可得平面中心到球心的距离为，

又球冠底面周长为，所以，

又，所以，

因为，即，

解得，即，故，故选：B．

4．（2021·山东潍坊高三模拟）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】塔顶是正四棱锥，如图，是正四棱锥的高，设底面边长为，底面积为，

，，∴，是正三角形，面积为，

所以．故选：D．

5．（福建省龙岩市2021届高三三模）如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的，现将其侧面放置于水平地面，水面恰好经过底边上的点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为水的体积是三棱柱体积的，又阴影部分为四棱柱，

所以四棱柱的底面积是三棱柱的底面积的，所以无水部分三棱柱的底面积是大三棱柱底面积的，

根据两个三角形相似可得，所以，所以.故选：D

6．（安徽省马鞍山市2021届高三下学期第二次教学质量监测）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（    ）

A． B．-1 C． D．+1

【答案】A

【解析】如图为圆锥的侧面展开图，,

，则，

在中，，

则，

为M到B的路径中，最短路径的长.故选：A.

7．（2021·山东济南外国语学校高三模拟）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由三棱柱所有棱的长，可知底面为正三角形，

底面三角形的外接圆直径，所以，

设外接球的半径为，则有，

所以该球的表面积，

故选：D.

8．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

如图，因为平面，，所以为球的直径

由得

作，则即为与平面所成角

所以，得

设由等面积法得，解得

所以，即，

又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长

所以P到平面距离的最大值为3.故选：B.

9.（2021·浙江镇海中学高三模拟）某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ）

A．圆锥的侧面展开图的圆心角为

B．圆锥的体积为

C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8

D．圆锥轴截面的面积为

【答案】AC

【解析】因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高.

A：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，因此本选项说法正确；

B：因为圆锥的体积为，所以本选项说法不正确；

C：设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，

当时，面积有最大值，最大值为，所以本选项说法正确；

D：因为圆锥轴截面的面积为，所以本选项说法不正确，

故选：AC

10．（2021·河北保定市·高三二模）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的体积为

B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等

D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2

【答案】BD

【解析】依题意圆柱的底面半径为R，

则圆柱的高为，圆柱的体积为，∴A错误；

圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，∴B正确；

∵圆柱的侧面积为，圆锥表面积为，∴C错误；

，，

，∴D正确.故选：BD.

11．（2021·广东高三模拟）如图，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1内的动点，则（　　）

A．点P至少存在两个位置满足DP⊥BC1

B．点P存在无数个位置满足到直线BC和直线A1B1的距离相等

C．三棱锥A﹣D1PC的体积存在最大值

D．过点P的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面多边形最大边数为6

【答案】ABCD

【解析】对于A．若DP⊥BC1，由DC⊥BC1，则PC⊥BC1，由此可知，线段B1C上的点均满足DP⊥BC1，故A正确；

对于B．到直线BC和直线A1B1 的距离相等，即到点B1和直线BC的距离相等，点P的轨迹是抛物线的一段，故B正确；

对于C．由，可知当点P与B1重合时，三棱锥A﹣D1PC的体积最大，故C正确；

对于D．不妨取P为CC1的中点，可知截面分别过CC1、C1D1、A1D1、AA1、AB、BC中点时，得截面多边形为六边形．

∴过点P的平面截正方体的截面多边形最大边数为6，故D正确．

故选：ABCD．

12．（2021·山东济南外国语高三模拟）已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，过，的平面与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面截该正方体得到的截面为底面，以为顶点的棱锥记为棱锥，则（    ）

A．正方体的外接球的体积为

B．正方体的内切球的表面积为

C．棱锥的体积为3

D．棱锥的体积为

【答案】AC

【解析】因为正方体的棱长为2，

所以正方体的外接球的直径为，

内切球的半径为1，

所以正方体的外接球的体积为，

内切球的表面积为，故A正确，B错误.

如图，分别是棱的中点.

因为在同一个平面内，

并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，

所以平面被此正方体所截得的截面图形为正六边形，

边长为.

因为正六边形的面积，

到平面的距离为，

所以棱锥的体积为.故正确，D错误.

故选：AC.

13．（2021·安徽合肥六中高三模拟）一个球的表面积为，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为___________.

【答案】4

【解析】设球的半径为，由题可知，.

所以球心到这个平面的距离为.故答案为：4

14.（2021·江苏金陵中学高三模拟）如图，一圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于　1　．

【答案】1．

【解析】圆锥的侧面展开图如图所示，

且，

所以，

所以，

设圆锥的底面半径为，

利用，

解得．故答案为：1．

15.（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）

【答案】

【解析】该球形容器半径的最小值为：

该球形容器表面积的最小值为：故答案为

16.（2021·天津南开中学高三模拟）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为，高为10cm.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g．（取，精确到0.1）

【答案】358.5

【解析】

如图，是该几何体的轴截面，设正方体的棱长为，则，解得，

∴该模型的体积为（），

∴所需原料的质量为358.5（g ）故答案为358.5．