（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型三 与实际问题结合的函数性质探究（原卷版+解析版）

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类型三与实际问题结合的函数性质探究
1.根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．
【分析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；
（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16
∴当时地面气温为16℃
∵x＝12＞11，
∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．
2.某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；
（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．
3.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．

【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把x＝3代入（2）的结论即可．
【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；
故答案为：4；120；
（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），
因为图象经过（2，120），
所以2k＝120，
解得k＝60，
所以y关于x的函数解析式为y＝60x，
设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），
因为图象经过（2，120），（4，0）两点，
所以，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；
（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．
所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．
4.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．

【分析】（1），根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；
（2），根据总利润＝每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
【解答】解：
（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）
根据题意得，解得
∴y＝﹣200x+2200
当10＜x≤12时，y＝200
故y与x的函数解析式为：y＝
（2）由已知得：W＝（x﹣6）y
当6≤x≤10时，
W＝（x﹣6）（﹣200x+2200）＝﹣200（x﹣）2+1250
∵﹣200＜0，抛物线的开口向下
∴x＝时，取最大值，
∴W＝1250
当10＜x≤12时，W＝（x﹣6）•200＝200x﹣1200
∵y随x的增大而增大
∴x＝12时取得最大值，W＝200×12﹣1200＝1200
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．
5.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（　　）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【答案】B．
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝．
故选：B．
6.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时
将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．
②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
7.如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．

【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y＝
得：18＝
∴k＝18
设h＝at2，把t＝1，h＝5代入
∴a＝5
∴h＝5t2
（2）∵v＝5，AB＝1
∴x＝5t+1
∵h＝5t2，OB＝18
∴y＝﹣5t2+18
由x＝5t+1
则t＝
∴y＝﹣
当y＝13时，13＝﹣
解得x＝6或﹣4
∵x≥1
∴x＝6
把x＝6代入y＝
y＝3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）
（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18
得t2＝
解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x＝10
∴甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y＝上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
8.甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg
30
50
150
…
甲批发店花费/元
　　
300
　　
…
乙批发店花费/元
　　
350
　　
…
（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　 　kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中　　　　批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　 　批发店购买数量多．
【分析】（Ⅰ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；6×30＝180，6×150＝900；而乙批发店花费 y2（元），当一次购买数量不超过50kg时，y2＝7××30＝210元；一次购买数量超过50kg时，y2＝7×50+5（150﹣50）＝850元．
（Ⅱ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 y2（元）在一次购买数量不超过50kg时，y2（元）＝7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时，y2（元）＝7×50+5（x﹣50）；即：花费 y2（元）是购买数量x（千克）的分段函数．
（Ⅲ）①花费相同，即y1＝y2；可利用方程解得相应的x的值；
②求出在x＝120时，所对应的y1、y2的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值．
③求出当y＝360时，两店所对应的x的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值．
【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7××30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元．
故依次填写：180 900 210 850．
（Ⅱ）y1＝6x （x＞0）
当0＜x≤50时，y2＝7x （0＜x≤50）
当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50）
因此y1，y2与x的函数解析式为：y1＝6x （x＞0）； y2＝7x （0＜x≤50）y2＝5x+100 （x＞50）
（Ⅲ）①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不和题意舍去；
当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元，
∵720＞700
∴乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52，
∵60＞52
∴甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
9.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.

图1 图2
【答案】B
【解析】设抛物线的解析式为将代入得：
∴抛物线解析式为：，故选B

显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域内的整点个数有6个.
② 由类似①分析图象知区域内没有整点时有或.
10.工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.
（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

【答案】见解析。
【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.
认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．
（1） 当0＜x≤20且x为整数时，y=40；
当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50；
当x＞60且x为整数时，y=20；
（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴w=(40-16)×20=480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50，
∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x，
∴w=-x2+34x，
∴w=-（x-34）2+578，
∵-＜0，
∴当x=34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
11.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示．


(1)求演员弹跳离地面的最大高度是　 　；
(2)已知人梯高BC＝3.4 m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4 m，则这次表演　 　 　 　（填能或否）　 　成功．
【答案】(1).(2)能.
【分析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，3.4)代入函数表达式，验证该点是否在抛物线上．在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功．
【解答】解：(1)y＝－x2＋3x＋1
＝－＋.
∵a＝－＜0，∴函数有最大值，
即演员弹跳离地面的最大高度是 m；
(2)由于OC＝4 m，故将x＝4代入函数表达式，得y＝－×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功．
12.如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；
（2）设甲、乙之间距离为d，由勾股定理可得d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2 ＝64000（x﹣）2+144000，根据二次函数最值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则：
y1＝
y2＝bx
由图②知：x＝3.75或7.5时，y1＝y2，∴，解得：
答：甲的速度为240m/min，乙的速度为80m/min．
（2）设甲、乙之间距离为d，
则d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2
＝64000（x﹣）2+144000，
∴当x＝时，d2的最小值为144000，即d的最小值为120；
答：当x＝时，甲、乙两人之间的距离最短．
13.商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
【解析】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
，故当时，随的增大而增大，而，
当时，由最大值，此时，，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：，
解得：，
每天的销售量，
每天的销售量最少应为20件．
14.“互联网+”时代上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】（1）y＝﹣5x+500；
（2）当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
15.网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．该板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当W≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此次获利的最大值为42100元，求a的值．
【解析】本题考查了二次函数的实际应用．涉及到分段函数、二次函数的最值、分类讨论等．（1）先根据条件“每日销售量不低于4000kg”求出自变量x的取值范围，再分类讨论，分别写出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；（2）分别求出（1）中的两个二次函数的最大值，再比较这两个最大值，从而确定销售这种板栗日获利最大值；（3）先由W≥40000求出自变量的取值范围，根据最大值42100确定a的值．
【答案】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10．
∴当6≤x≤10时，w==；
当10＜x≤30时，w==.
∴w=．
（2）当6≤x≤10时，w=．
∵对称轴为x=＞10，∴当x=10时，wmax=5×4000-2000=18000元.
当10＜x≤30时，w=．
∵对称轴为x=28，∴当x=28时，wmax=22×2200-2000=46400元．
∵46400＞18000，综上，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3）∵40000＞18000，∴10＜x≤30，则w=．
令w=40000，则=40000．解得：x1=20，x2=36．
在平面直角坐标系中，画出w与x的函数示意图，如答图所示，

观察示意图可知：w≥40000，20≤x≤36．又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30．
∴w1==.
对称轴为x=28+．∵a＜4，∴对称轴x=28+＜30．
∴当x=28+时，wmax=42100元．
∴．
∴．∴a1=2，a2=86．又∵a＜4，∴a =2．
16.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2＋bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元，
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
【解析】本题考查了实际问题与二次函数及利用二次函数求实际问题的最值，检查学生梳理应用信息的能力．（1）依据题意列出二元一次方程组求解，即可得出结论；（2）A，B两城生产这批产品的总成本的和为W元，先列出W关于x的函数关系式，再利用函数性质求最大值，从而得到总成本的和最少时A，B两城各生产多少件；（3）先设A城运往C地t件、B城运往C地90－t件、A城运往D地20－t件、所以B城运往D地80－（90－t）＝ t－10件，求得10≤t≤20，这样就能列出A，B两城总运费的和mt＋3×（20－t）＋1×（90－t）＋2×（t－10）＝（m－2）t ＋130，根据一次函数最值可得当m－2>0时， t取最小值10时，A，B两城总运费的和最小值为10m＋110；当m＝2时，最小值为130；当m－2<0时，t取最大值20时，A，B两城总运费的和最小值为20m＋90.
【答案】解:(1)依题意，得∴
答:a的值为1，b 的值为30
(2) 设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元
W＝＋30x＋70（100－x)＝－40x＋7000＝
∵a＝1＞0，∴当x＝20时，A，B两城生产这批产品的总成本的和W最少，
100－x＝80
答:A城生产20件，B城生产80件
(3)当m>2时，最小值为10m＋110；
当m＝2时，最小值为130；
当0