（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型四 图形变换方式不确定类问题（原卷版+解析版）

类型四图形变换方式不确定类问题

1.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（   ）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

【答案】C

【分析】

是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．

【详解】

解：连接AC，BD，如图所示．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．

∵∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°．

∴和都是等边三角形．

点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：

（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．

∵是等边三角形，是 BC的中点，

∴．

∴．

∴是直角三角形．

（2）当点P与点C重合时，记作．

此时，是等边三角形；

（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．

∵和都是等边三角形，

∴．

∴是直角三角形．

（4）当点P与点D重合时，记作．

∵，

∴是等腰三角形．

综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：

直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．

故选：C

【点睛】

本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．

2.（2021·江苏连云港市·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．

【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；

【分析】

（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；

（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；

（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；

（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．

【详解】

解:（1）∵、是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）连接，

∵、是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

又点在处时，，点在A处时，点与重合．

∴点运动的路径的长；

（3）取中点，连接，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵、是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

又点在处时，，点在处时，点与重合，

∴点所经过的路径的长；

（4）连接CG ,AC ，OB，

∵∠CGA=90°，

∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，

∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，

∴∠COB=90°，设OC=x，

由勾股定理即，

∴，

点G所经过的路径长为长=，

点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，

点H所经过的路径长为的长度，

∵点G运动圆周的四分之一，

∴点H也运动圆周的四分一，

点H所经过的路径长为的长=，

故答案为；．

【点睛

本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．

3．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．

（1）求证：；

（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；

（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．

【答案】（1）见详解；（2）；（3）-1或+1

【分析】

（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，进而即可得到结论；

（2）先求出DC=，AD=，再证明，进而即可求解；

（3）分两种情况：①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，分别求解，即可．

【详解】

解：（1）∵在等腰直角三角形中， ，，在正方形中，CD=CE，∠DCE=90°，

∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，

∴；

（2）∵正方形的边长为2，

∴DC=GC=2÷=，

∵，

∴AD=，

∵∠GDE=，

∴∠ADM=∠CDE=45°，

∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，

∴，

∴，即：，

∴AM=；

（3）①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，如图，

∵正方形的边长为2，

∴CM=DM=2÷2=1，AM=，

∴AD=AM-DM=-1；

②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，如图，

同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM=，

∴AD=AM+DM=+1．

综上所述：AM=-1或+1

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键．

4.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形

[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．

[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明．

【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析

【分析】

[探究1] 设，根据旋转和矩形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；

[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出；

[探究3] 连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论．

【详解】

[探究1]如图1，

设．

∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，

∴点，，在同一直线上．

∴，，

∴．

∵，

∴．

又∵点在延长线上，

∴，

∴，∴．

解得，（不合题意，舍去）

∴．

[探究2] ．

证明：如图2，连结．

∵，

∴．

∵，，，

∴．

∴，，

∵，，

∴，

∴．

[探究3]关系式为．

证明：如图3，连结．

∵，，，

∴．

∴，

∵，

，

∴，

∴．

在与中，

，，

∴，

∴，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．

5.（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，．

（1）求证：；

（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；

（3）将正方形绕点旋转一周，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出的长．

【答案】（1）见详解；（2）；（3）-1或+1

【分析】

（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，进而即可得到结论；

（2）先求出DC=，AD=，再证明，进而即可求解；

（3）分两种情况：①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，分别求解，即可．

【详解】

解：（1）∵在等腰直角三角形中， ，，在正方形中，CD=CE，∠DCE=90°，

∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，

∴；

（2）∵正方形的边长为2，

∴DC=GC=2÷=，

∵，

∴AD=，

∵∠GDE=，

∴∠ADM=∠CDE=45°，

∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，

∴，

∴，即：，

∴AM=；

（3）①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，如图，

∵正方形的边长为2，

∴CM=DM=2÷2=1，AM=，

∴AD=AM-DM=-1；

②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，如图，

同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM=，

∴AD=AM+DM=+1．

综上所述：AM=-1或+1

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质以及正方形的性质，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，画出图形，添加合适的辅助线，是解题的关键．