（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型二 点位置不确定类问题（原卷版+解析版）

类型二点位置不确定类问题

1．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是(    )

A．2002或2003    B．2003或2004

C．2004或2005    D．2005或2006

【答案】C

【解析】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点．可以先从最基础的问题入手．如AB＝2为基础进行分析，找规律，所以答案：C．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与双曲线y交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线y交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为10时，点A的坐标为　   　．

【答案】（，2）或（2，）．

【解析】求出点A、D、B的坐标，则AD2＝AB25m，进而求解．

解：联立y＝mx（m＞0）与y并解得：，故点A的坐标为（，2），

联立y＝nx（n＜0）与y同理可得：点D（，），

∵这两条直线互相垂直，则mn＝﹣1，故点D（，），则点B（，），

则AD2＝（）2+（2）25m，同理可得：AB25m＝AD2，

则AB10，即AB25m，解得：m＝2或，

故点A的坐标为（，2）或（2，），故答案为：（，2）或（2，）．

3.如图，直线l1：y＝x＋3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)与x轴交于点B．

（1）求直线l2的解析式；

（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【解析】（1）由已知先求出C点坐标，再用待定系数法求出直线解析式．（2）由MN∥y轴可得M、N两点的横坐标相等，再由，求出a的值即可求出M点坐标．

【答案】解：在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝－3；∴B(－3,0),

把x＝1代入y＝x＋3，得y＝4，∴C(1,4)，

设直线l2的解析式为y＝kx＋b，

，解得．

∴y＝－2x＋6．

（2）AB＝3－(－3)＝6，

设，由MN∥y轴，得N(a,－2a＋6)，

，

解得或，

∴M(3,6)或M(－1,2)．

4.表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图15.而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l＇.

（1）求直线l的解析式；

（2）请在图上画出直线l＇（不要求列表计算），并求直线l＇被直线l和y轴所截线段的长；

（3）设直线y=a与直线l，l＇及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值.

【解析】本题考查了一次函数的图像及用待定系数法求函数解析式.（1）把x=-1,y=-2；x=0，y=1代入y=kx+b求出k,b的值；（2）先列方程组求出l与l’的交点A，再过点A作AC⊥y轴于点C，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB即可；（3）直线y=a与l的交点为D，直线y=a与l’的交点为E（a-3,a），y=a与y轴交点为F（0，a）.对于点D,E,F，其中两点关于第三点对称，可以分为3种情况：①点F是线段DE的中点；②点E是线段DF的中点；③点D是线段EF的中点.

【答案】解：（1）把x=-1,y=-2；x=0，y=1代入y=kx+b，得，

解得.∴直线l的解析式为y=3x+1.

（2）如图，l’为所画直线.由k,b交换位置得l’得解析式为y=x+3.

设l’与l交于点A，与y轴交于点B，过点A作AC⊥y轴于点C.解得.

∴A（1,4）.在Rt△ACB中，AC=1，BC=4-3=1,∴AB=.

即直线l’被直线l和y轴所截线段的长为；

（3）或或7.

5.如图，经过原点O的直线与反比例函数＝(a>0)的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，E在反比例函数y＝(b<0)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a－b的值为，的值为　　　　　.

【答案】24，－

【解析】本题考查了反比例函数的图象和性质，点的坐标表示，三角形面积的计算等知识．由题意设点A的坐标为(x，)，则点D坐标为(－x，－)，点E坐标为(，)，点C坐标为(－，－)，点B坐标为(x，)，S△ADE＝AE×(yA－yD)＝(x－)[(－(－)]＝××(x－)＝(x－)＝a－b＝56－32＝24.延长AB，DC交于点M，则S四边形ABCD＝S△ADM－S△BCM＝AM·DM－BM·CM＝··2x－(＋)(x＋)＝2a－·(a＋b)·(1＋)＝2a－(2b＋a＋)＝2a－a－b－＝a－b＋a－＝24＋a－＝32，所以a－＝8，解得＝－．

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A（0，-4）、B（2，0），交反比例函数（x>0）的图像于点C（3，a），点P在反比例函数的图像上，横坐为n(0<n<3)，PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△DPQ面积的最大值.

【解析】 （1）利用待定系数法来求直线和反比例函数的解析式；（2）用二次函数的性质来解决问题.

【答案】解：（1）把（0，4）、（2，0）代入y=kx+b，得，解得k=2，b=-4，

∴一次函数的解析式为：y=2x-4.∴当x=3时，y=2，∴点C的坐标为（3，2），

把（3，2）代入，得m=6，∴反比例函数的解析式为：.

（2）设P点的坐标为（n，），由于PQ∥y轴，∴点Q的坐标为（n，2n-4），

∴PQ=-2n+4（0<n<3）∴S△DPQ==3-n2+2n=-(n-1)2+4，

由于0<n<3，所以当n=1时，△DPQ面积的最大值为4.

7．（2020·聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax＋b相交于点A(－2，3)，B(1，m)．

（1）求出直线y＝ax＋b的表达式；

（2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．

【解析】（1）根据点A的坐标先求反比例函数的表达式，再求点B的坐标，最后利用待定系数法确定一次函数的表达式；

（2）先求出直线AB与x轴的交点E的坐标，这样结合点A，B的纵坐标，利用△PAE与△PBE面积之和为18求得两三角形公共底边PE的长，再分点P在直线AB两侧两种情形求出点P的坐标．

【答案】解：（1）∵A(－2，3)在y＝的图象上，∴3＝，k＝－6．

又点B(1，m)在y＝的图象上，∴m＝－6，即B(1，－6)．

将点A，B的坐标代入y＝ax＋b，得解得∴直线的表达式为y＝－3x－3．

（2）设直线y＝－3x－3与x轴的交点为E，当y＝0时，解得x＝－1．即E(－1，0)．

分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD，垂足分别为C，D．S△PAB＝PE·AC＋PE·DB＝PE＋PE＝PE．又S△PAB＝18，即PE＝18，∴PE＝4．

当点P在原点右侧时，P(3，0)．当点P在原点左侧时，P(－5，0)．

8.如图，抛物线与轴正半轴， 轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标的取值范围.

【解析】本题考查了二次函数图象与几何图形的综合问题，解题的关键是灵活运用数形结合思想，发现各图象、图形之间的关系．（1）由抛物线解析式可以确定B点的坐标为(0，)， ，∴点A(c,0)，然后把点A（c,0）代入抛物线的解析式建立关于c的一元二次方程求解，注意c值的取舍，顶点的坐标可以通过配方法求得；（2）由函数解析式先确定对称轴是直线x=1，然后根据题意得出点M和点N的横坐标和纵坐标（分两种情况），从而确定的取值范围.

【答案】解：(1):∵抛物线与轴正半轴交于点B，∴B点的坐标为(0，)， .

∵OA=OB，且A点在轴正半轴上， ∴A点的坐标为(，0)，

∵抛物线经过点A，∴，解得 (舍去)， .

∴抛物线的解析式为.∵，

∴抛物线顶点G的坐标为(1，4).

(2) 抛物线的对称轴为直线=1.∵点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为-2或4，点N的横坐标为-4或6， ∴点M的纵坐标为-5，点N的纵坐标为-21.又∵点M在点N的左侧，∴当点M的坐标为(-2，-5)时，点N的坐标为(6，-21)，所以-21≤≤4；；当点M的坐标为(4，-5)时，点N的坐标为(6，-21)，所以-21≤≤-5.

9.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(1，2)，B(n，－1)两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【解析】（1）利用A(1，2)先确定反比例函数表达式，再求点B的坐标，进而利用待定系数法构建二元一次方程组确定一次函数的表达式；

（2）先求出点C的坐标，这样结合点A的纵坐标，利用△ACP的面积为4求得边PC的长，再分点P在直线AB两侧两种情形求出点P的坐标．也可设P点坐标，构建绝对值方程求解．

【答案】解：（1）把点A(1，2)代入y＝中，得m=1×2=2，

∴反比例函数的表达式为y＝．

把点B(n，－1)代入y＝中，得

－1＝，解得n＝－2，

∴B(－2，－1)．

将点A(1，2)、B(－2，－1)代入y＝kx＋b中，得

解得

∴一次函数的表达式为y＝x＋1；

（2）对于y＝x＋1，当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，∴C(－1，0)．

∴设点P(x，0)，则PC＝∣x＋1∣，

∴∣x＋1∣×2＝4，

即x＋1＝4或x＋1＝－4，

解得x＝3或x＝－5．

∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（－5，0）．

10.如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 和点 ．

（1）         ，           ；

（2）点 在 轴正半轴上， ，求点 的坐标；

（3）取点 在 轴上， 为锐角，直接写出 的取值范围         ．

【解析】（1）由点A在 上求出n的值，再把A（－4,2）代入 ，求出k的值；

（2）根据正比例函数 与反比例函数关于原点对称，可得两交点A、B关于原点对称，在Rt△ACB中，OC＝AB＝OA．

（3）当∠APB＝90°,OP＝OA＝ 时，点P在以AB为直径的圆与x轴的交点，结合图形求出m的取值范围．

【答案】解：（1）－4，－ ．

把A（n,2）代入

得

∴

把A(－4,2)代入，得

（2）∵y＝－ x与y＝－ 都是关于原点对称，

∴ 交点A、B关于原点对称，

∴OA＝OB．

∵，

∴．

过点A作AD⊥x轴于点D

∵A（－4，2）

∴OD＝4，AD＝2

∴OA＝

∴OC＝2，

∴C(0，2)．

（3）

当∠APB＝90°时，

∵OA＝OB，

∴OP＝AB＝．

∵点P在x轴上，

∴（，0），（，0），

当∠APB为锐角时，点P在以AB为直径的圆的外部，

∴或．

11.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；

（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点.

【解析】 （1）由一次函数一个点的横坐标，可以求出这个的纵坐标，然后用待定系数法求出反比例函数；（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，即可求出新的一次函数的解析式为，由这个一次函数的解析式与反比例函数的解析式组成方程组求出交点坐标；（3）求与反比例函数的图象没有交点的一次函数解析式，可以通过观察一次函数的图像来确定，本题答案不唯一.

【答案】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，

∴当时，，∴其中一个交点是.∴.∴反比例函数的表达式是.

（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，∴平移后的函数表达式是.

由及，可得一元二次方程，解得，.

∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为

（3）（答案不唯一）