（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型一 圆基本性质的证明与计算（原卷版+解析版）

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类型一圆的基本性质证明与计算1.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=.2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB=                                                                                             （    ）A．2       B.3         C.4         D.5【答案】B【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选B．3.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）A．20° B．35° C．40° D．55°【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．【详解】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO∴ ∵OC=2，OB=4，∴BC=2,∴，解得，CD=； ∵CD//AO，∴，即，解得，PO=  故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．5.如图，⊙P与x轴交与点A（—5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为  B. C. D. 【答案】D【解析】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE为矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.6.如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．【详解】解：是的直径，弦，，．又在和中，，故选：B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（）A．8   B．10    C．12    D．16【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE ▪EB，得．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．8.如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（     ）．A．         B．         C．         D． 【答案】D【解题过程】连接OC，因为，，            所以             所以             因为AB是的直径，所以，所以，所以， 在△ADC与△CED, 因为，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因为，所以△AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与 相切于点C，所以，因为，，所以AD//OC，所以，所以，所以，所以△AOC是等边三角形，所以，，所以的长为．9.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．【答案】4【解析】【分析】连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．【详解】解：连结，如图，设的半径为，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．10.如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE＝AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．11.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为______ .【答案】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为．12.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　   　．【答案】【解析】连接OD，因为CD⊥OC，则有CD=，根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时则有CD最大，故当OC⊥AB时CD=BC=最大.13.如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点A在⊙O内,且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB＝x,PC＝y,则y与x的函数表达式为________.【答案】【解析】过点O作OD⊥PC于点D连接OP,OC,因为PC＝y,由垂径定理可得DC＝,因为OP＝OC,所以∠COD＝∠POC,由圆周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即,整理可得函数表达式为:.14.如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE=ME；（3）求证：ME2=BM·BE.【解析】解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∠COD==72°，∴∠CAD=∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）连接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE..15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．    【解析】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径.∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵ AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形；（2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3.16.已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC的长；②若点C是的中点，求AB的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．                        图1                   图2               　　图3【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【解析】　解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.17．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圆的半径为2.18．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．19.如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD＝BE;(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;(3)设＝x,tan∠DAE＝y.①求y关于x的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.解：(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;答图(1)(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;答图(2)②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,△AEC的面积＝,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.答图(3)