（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型四 手拉手模型（原卷版+解析版）

模型四手拉手模型

【基础模型】

【基本模型】

手拉手模型可以看作是一个等腰三角形经过顺时针旋转到另一个地方得到另一个三角形，旋转过程中可能有缩放，这样形成的几何图形。上图中可以看作△ADE绕着顶点A顺时针旋转到△ABC位置（有比例放大），也可以看作是△ABC从头顶按顺时针旋转到△ADE。用旋转的思路可以方便地理解哪一只手对应到哪一只手，因为解题思路通常是做左手拉左手，右手拉右手的辅助线。

如果把顶点当作头，那么位于顶点左边的可以称为左手，右边的成为右手。当然，这种方式要灵活理解，如果三角形是横躺的，甚至快要倒过来时，可以想象三角形顺时针旋转而来。

  手拉手模型主要抓三个条件：

1：共顶点

2：等腰（等边，正方形等等，换句话讲共顶点的两边相等）

3：顶角相等

手拉手模型主要分为：“等边△+等边△”和“等腰△+等腰△”

类型一：等边△+等边△

前题条件：图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE.

（1）图中，B,C,D三点共线，有等边△ABC和等边△CDE.

我们可以得到以下一些结论：

结论一：△ACD≌△BCE

（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：

结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD

（3）连接MN：

结论三：△MNC是等边三角形+MN//BC

（4）记AD、BE交点为P，连接PC：

因为△ACD≌△BCE

所以过点C作CG⊥BE,CH⊥AD ∴CG与CH分别是BE与AD边上的高

∵BE=AD ∴CG=CH 所以易知Rt△PGC≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2

结论四：PC平分∠BPD

（5）∵∠CAD+∠CDA=∠ACB=60°

∴∠DBE+∠CDA=60° ∴∠BPD=120° 由（4）可知

∠BPC=∠CPD=60° ∴∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．

（6）连接AE：

结论六：P点是△ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）

（7）因为∠APB=∠ACB=60°

所以可以得到:△AMP∽△BMC

同理可以得到以下几组相似三角形：

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

当然，我们也可以得到A、B、C、P四点共圆/P、C、D、E四点共圆

结论七：△AMP∽△BMC，

△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND

+A、B、C、P四点共圆和P、C、D、E四点共圆

(8) 如图，在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF为等边三角形

∴易证：△PCE≌△FCD

∴有PD=CP+PE

同理可得:BP=AP+PC

结论八：PD=CP+PE，BP=AP+PC

注意：当然前面都是在B、C、D共线的时候得出的结论。当B、C、D不共线的时候，只有MN//BC不成立

【典例】如图2,两个等边三角形△ABD与△BCE,连接AE与CD,证明:

⑴△ABE≌△DBC;

⑵AE=DC;

⑶AE,DC之间的夹角为60°;

⑷AE与DC的交点为H,BH平分∠DHE.

【强化训练】

1．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对.

A．3        B．5      C．1     D．2

2．如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（  ）

A． B． C． D．

3．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合

B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合

C．沿所在直线折叠后，与重合

D．沿所在直线折叠后，与重合

4．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．

5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：

（1）AD=BE；

（2）填空∠AOE=        °；

（3）CP=CQ；

6．如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．

①BD与CE的数量关系为　      　；

②∠BPC的度数为　            　．

（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．

（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．

7.如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．

（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

8.如图，在中，，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连结并延长交线段于点.

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)求平行四边形的面积；

(3)如图，分别作射线，，如图中的两个顶点，分别在射线，上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.

9．探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．