（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第三讲 分式及其运算（原卷版+解析版）

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分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
考点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
【微点拨】
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
2.分式的基本性质
（M为不等于零的整式）.
【微点拨】
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【微点拨】
分式的概念需注意的问题：
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
（4）分式有无意义的条件：在分式中，
①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
考点三、分式的运算
1．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
（2）乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
（4）乘方运算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分别乘方．
2．零指数 .
3．负整数指数
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
5．约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
约分需明确的问题：
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
6．通分
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
通分注意事项：
(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
【微点拨】
分式运算的常用技巧
（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.
(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）.
（7）活用分式变形求值.
(8)设k求值法(参数法)
(9)整体代换法.
(10)消元代入法.
命题点1分式的有关概念及性质
类型一分式有意义及值为0的条件
1. 当取什么数时，下列分式有意义？当取什么数时，下列分式的值为零？
（1）；（2）；（3）．
2.当取何值时，分式的值恒为负数？
3.若分式的值为0，则x的值等于 ．
4.如果分式的值为0，则x的值应为 .
5.若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 ．
6.当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
7.如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠－ 1 B. x＞－1 C. 全体实数 D. x＝－1
8.如果分式的值为0,那么x的值为
A.－1B.1C.－1或1D.1或0
9.若分式有意义,则x的取值范围是______.
10.若分式的值等于1，则________．
11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
类型二分式的基本性质
13.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
5 B. C. D.
14.已知x=-1,y=+1，那么代数式的值是( )
A.2 B. C.4 D.2
15.若a≠b，则下列分式化简正确的是
A. B. C. D.
16.已知求的值.
17.已知且,求的值.
命题点2分式化简及求值
类型一分式的简单运算
18.已知分式，计算的值．
19.已知，其中不为0，求的值.
20.若等于它的倒数，求的值．
21计算：（1）；（2）；
（3）； （4）．
类型二分式化简
22.化简
23.化简：（a—1＋ EQ \f(1,a—3) ）÷ EQ \f(a2—4,a—3) ；
24.计算：．
类型三分式化简求值
考向1分式化简求值--给固定值
24.先化简，再求值：，其中.
25.先化简，再求值:，其中.
考向2分式化简求值---自选值
26.先化简，，然后选择一个合适的x值代入求值.
27.先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
28.先化简，再求值：（），然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
考向3分式化简求值--结合实数的运算
29.先化简，再求值：，其中x=.
30.先化简，再求值：，其中，
考向4分式化简求值--结合非负数
31.已知实数x,y满足+y2－4y+4＝0,求代数式的值.
考向5分式化简求值--结合方程
32.先化简，再求值：(2a－)÷，其中a满足a2＋2a－3＝0．
33.先化简，再求值：.其中a满足a2+3a-2=0.
考向6分式化简求值--结合不等式(组)
34.先化简,再求值:,其中,x为整数且满足不等式组.
35.先化简，再求值：，其中是不等式组的最小整数解.
考向7分式化简求值--与其他知识结合
36.若，求的值．
37.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：．