（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第四讲 一次方程（组）（讲义）学案

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第四讲 一次方程（组）
一、13个必备知识点 2
考点一 等式的性质 3
考点二 解一次方程（组） 4
考点三 含参数的一次方程（组） 7
考点四 一元一次方程的应用 8
考点五 二元一次方程组的应用 14















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一、13个必备知识点
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程:含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步骤
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
7．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
10．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
11．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
12．列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
13．一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．


考点一 等式的性质

1．设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
2．下列说法中错误的是（　　）
A．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b
B．若ax＝ay，则x＝y
C．若a（c2+1）＝b（c2+1），则a＝b
D．若，则x＝y
3．已知等式3x＝2y+4，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3x﹣4＝2y B．3x+1＝2y+5 C．3mx＝2my+4 D．x＝
4．下列等式从左到右的变形，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，3）是“相伴数对”，则x的值为　 　．


考点二 解一次方程（组）

1．解方程：
（1）5x﹣4＝2（2x﹣3）； （2）﹣＝1；




（3）﹣＝1+； （4）﹣＝0.75．



2．解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21； （2）﹣1＝+x；





（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3； （4）﹣＝．





3．解方程：
（1）﹣＝1； （2）﹣1＝﹣．





4．解方程组：
（1）； （2）．





5．解方程组：
（1）； （2）．










6．解方程组
（1） （2）













考点三 含参数的一次方程（组）

1．已知（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
2．已知关于x的方程＝3+k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有k值的乘积为（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程x﹣＝﹣2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　）
A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34
4．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
5．已知关于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
6．已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（　　）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
7．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的算术平方根是（　　）
A．0 B．± C． D．2
8．已知关于x的方程3x﹣2a＝2x的解为2，则代数式﹣a2+a﹣1的值是　 　．
9．关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　 　．
10．若关于x的方程﹣x＝2的解与方程x+1＝m的解相同，则m的值为 　 　．
11．已知方程组有相同的解，则a2﹣2ab+b2＝　 　．
12．若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　 　．
13．已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为　 　．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数，求m的值．






15．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．









考点四 一元一次方程的应用

1．为响应文明城区建设号召，某校组建了“文明宣传队”和“文明监督队”．其中“文明宣传队”的人数比“文明监督队”的人数的2倍少8人．一个月后，为了提高工作成效，学校决定从“文明宣传队”调10人去“文明监督队”，并调“文明监督队”原来人数的一半去“文明宣传队”，调整后，“文明宣传队”比“文明监督队”多6人．求原“文明宣传队”和“文明监督队”各有多少人？若设“文明监督队”有x人，则根据题意，列方程正确的为（　　）
A．2x﹣8+10+x＝x﹣10﹣x+6 B．2x﹣8﹣10x＝x+10+x+6
C．2x﹣8﹣10+x＝x+10﹣x+6 D．2x﹣8﹣10+x＝x+10﹣6
2．一辆快车和一慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120km/h，慢车的行驶速度是80km/h，快车比慢车早2h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．120x﹣80x＝2 B．﹣＝2 C．80x﹣120x＝2 D．﹣＝2
3．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3 C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3
4．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（　　）
A．140元 B．150元 C．160元 D．200元
5．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分钟45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟120米的速度骑自行车匀速上山，每骑车5分钟休息1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟50米的速度推着自行车到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然骑车5分钟休息1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶45秒，则山脚到山顶的距离为　 　米．
6．在同一条道路上，小明以100km/h的速度从相距400km的A地自驾到B地，同时客车从B地匀速行驶到A地，且每隔1小时滚动发车．过了一段时间，小明遇到了第一辆客车，小时后小明遇到了第二辆客车，则小明和第二辆客车相遇时，第一辆客车距离A地还有
　 　千米．
7．列方程解应用题：
重庆恒都农业集团已建成涵盖牧草种植、饲料加工、品种繁育、肉牛育肥、电子交易、肉牛屠宰、精深加工、冷链运输、市场销售、科技研发于一体的全产业链格局．已知其旗下牛肉加工厂12月份共计从屠宰场以3.4万元/吨价格购买了38吨生牛肉为元旦节做准备，根据市场信息，若将生牛肉直接在市场上销售，售价为3.6万元/吨；如果对牛肉进行粗加工，每天可加工7吨生牛肉，但是成品只有原材料的90%，并且每消耗1吨原材料还有其他成本0.1万元，这样粗加工后所得成品的售价能达到6万元/吨；如果对牛肉进行精加工，每天可加工3吨生牛肉，但是成品只有原材料的80%，并且每消耗1吨原材料还有其他成本0.6万元，这样精加工后所得成品的售价能达到10万元/吨．受疫情影响，加工厂每天只能采取一种加工方式，并且本月的加工时间最多只有10天，现有两种加工方案：
方案一：尽可能多的精加工，剩余的生牛肉在市场上直接销售；
方案二：一部分粗加工，一部分精加工，且刚好10天时将所有原材料加工完．
（1）若按照方案二进行加工，需要粗加工多少天？
（2）哪个方案获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）今年1月份时，为了应对春节期间的牛肉加工产品需求量剧增的情况，该加工厂某车间临时开放多条生产线，使得粗加工和精加工可以同时进行，其中需要粗加工的生牛肉数量是精加工的2倍．上午全部工人在粗加工产品，下午一半的工人仍然继续粗加工（上、下午的工作时间相等），到下班时刚好把粗加工的原材料全部处理完毕，另一半的工人去精加工产品，到下班时还剩下一小部分未完成，最后由5个工人再用一整天的时间刚好加工完．如果该车间工人每人每小时精加工的效率是粗加工效率的一半，则该车间工人共有多少人？









8．某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获礼20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？




9．为了更好的实现信息化教学，我校准备从某公司购入一批新型设备．经调查，某公司有A、B两种型号设备，其中每台B型号设备的售价比每台A型号设备的售价的2倍少一万元．若购买A型号设备4台，B型号设备5台，则共需资金30万元．
（1）求每台A、B型号设备的售价分别为多少万元？
（2）该公司在“元旦”期间有如下表所示优惠活动：
折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过10万元
不优惠
超过10万元但不超过30万元
按总售价打9.5折
超过30万元但不超过70万元
按总售价打9折
超过70万元的
按总售价打8.5折
由于A、B两种型号不混合出售，按上述优惠条件，学校第一次购买A型号设备一次性付款237500元，第二次购买B型号设备一次性付款612000元，求购买A、B两种设备共多少台？

10．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
（1）求11月份两种取暖器各购进多少台？
（2）在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
（3）今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量
不超过150台的部分
超过150台的部分
折扣数
打九折
打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额
不超过7000元
超过7000元，但不超过10000元
超过10000元
返现金金额
0元
直接返现200元
先返现出厂总金额的2%，再返现296元
已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？







11．水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，重庆市政府和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施．
（1）据环保组织调查统计，全市至少有6×105个水龙头、2×104个抽水马桶漏水．若一万个漏水的水龙头一个月能漏掉a立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉b立方米水，则全市一个月仅这两项所造成的水流失量是多少？
（2）针对居民用水浪费现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水量，超过标准部分加价收费．若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分为每立方米4.2元．某家庭某月用水12立方米，交水费44.8元，请你通过列方程求出我市规定的三口之家每月的标准用水量为多少立方米．
（3）在近期由市物价局举行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：每天8：00至22：00为用水高峰期，水价可定为每立方米4元；22：00至次日8：00为用水低谷期，水价可定为每立方米3.2元．若某三口之家按照此方案需支付的水费与（2）问所交水费相同，又知该家庭用水高峰期的用水量比低谷期少20%．请计算哪种方案下的用水量较少？少多少？



12．“乐天乐地乐巴蜀，巴蜀孩子最幸福”巴蜀中学一年一度的艺术节是孩子们最盼望的节日，不仅有各种精彩的节目表演，还有美淘街各具特色的小店，就像过年一样热闹．初二（1）班的同学们在2018年的美淘街上大放异彩，他们手工编织的小挂件非常受欢迎，当天一共卖出了40件动物挂件与50件植物挂件，其中动物挂件每件售价8元，植物挂件每件售5元．2019年他们打算继续卖手工编织的挂件．与2018年的售价相比，动物挂件的售价不变，优惠如下：买2件，首件全价，第二件半价，不单件销售：植物摆件的单价上调m%．与2018年的销售量相比，动物挂件的销量增加了5m%，植物挂件的销量下降了10件．结果2019年的销售额比2018年的销售额增加了m元，求m的值．




考点五 二元一次方程组的应用

1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．由于今年重庆受到洪水袭击，造成南滨路水电站损害，重庆市政府决定对南滨路水电站水库进行加固．现有4辆板车和5辆卡车一次能运27吨水电站加固材料，10辆板车和3辆卡车一次能运20吨水电站加固材料，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　）
A．B．C．D．
3．在2019年全国青少年信息学联赛中，巴蜀中学创历史新高，有69人获得“全国信息学联赛一等奖”，充分展现了巴蜀人探索求知的精神，实力冠绝重庆．学校想借此提升信息课的教学质量，准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购12个无线鼠标和16个有线鼠标共花费972元，采购25个无线鼠标比采购8个有线鼠标多花费909元．
（1）求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少？
（2）学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W（单位：元）表示本次计划采购的总费用，请求出W的最小值．





4．抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元，84消毒液和酒精的进价和售价如下：

84消毒液
酒精
进价（元/瓶）
25
20
售价（元/瓶）
40
28
（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元，则84消毒液和酒精各销售了多少瓶？
（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将84消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4900元，则每瓶酒精最多打几折？




5．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售；若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．
（1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
（2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，进价不超过1400元，且全部销售完后总利润不低于1000元．已知小开将春联和窗花的售价分别定为15元和6元．设批发春联a副，总利润为W元．写出W（元）与a（副）的函数关系式，并求最大总利润W的值．








6．学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉．
（1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
（2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货n辆来运输这批花卉，一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？




7．在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）





8．体育与健康是学校素质教育的重要组成部分，为了活跃校园气氛，增强学生的集体观念，培养学生团队合作的精神．某学校将于11月份举办学生趣味运动会，计划用7380元购买足球和篮球共43个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球的单价为180元，篮球的单价为160元．
（1）学校计划购买足球和篮球各多少个？（列二元一次方程组解决该问题）
（2）某老师按计划到商场购买足球和篮球时，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了a%，最终经费比计划节省了774元，求a的值．








9．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元，求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．