大题专练训练27：圆锥曲线（求直线方程）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练27：圆锥曲线（求直线方程）-2022届高三数学二轮复习，共13页。试卷主要包含了抛物线上任取两点，，，，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，已知椭圆，右焦点为，短轴长为4等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练27—圆锥曲线（求直线方程）1．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．解：（1）由的面积为，则，得，所以，又点在椭圆上，①因为是椭圆的焦点，所以②由①②解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在直线满足题意，因为的斜率，设的方程为，联立方程组，整理得，△，解得，设，两点的坐标为，，，，则，，以为直径的圆的方程为，该圆经过原点，所以，又，所以，解得，经检验满足题意，所以存在直线满足题意，此时直线的方程为．2．抛物线上任取两点，，，．已知的垂直平分线分别交轴、轴于点，．（Ⅰ）若的中点坐标为，求直线的斜率；（Ⅱ）若的中点恰好在抛物线上，且，求直线的斜率．解：（Ⅰ）设直线，，，，，的中点坐标为，代入，得，，则直线的斜率．（Ⅱ）由（1）得，中点坐标为，显然，则，从而，，，中点坐标为，则，又，故，而，故，设，得，，即，又，得或，又，，故或符合，即，．  3．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点．若的面积为为坐标原点），求直线的方程．解：（1）由题意可得，解得，．故椭圆的标准方程为．（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为，，，，．联立，整理得，△，则，．故．因为的面积为，所以，设，则，整理得，解得，即．故直线的方程为，即．4．已知椭圆左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，△的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，当面积最大时，求直线的方程．解：（1），且，解得，，，所以椭圆的方程为：（4分）（2），，设，，，，直线的斜率不为0，设直线，联立，得，故，（7分），（9分）因为，当且仅当，即时等号成立，所以直线的方程为或（12分）5．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的斜率．解：（1）由题意知离心率满足，所以，又因为点在椭圆上，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为．（2）由（1）得，所以直线的方程为，与轴的交点为．由得，而，，因此．当与轴垂直时，不合题意．当与轴不垂直时，设其方程为，联立方程得，消去可得，设，，，，则，由得，所以，显然不为0，两式相除得，所以，解得．6．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．解：（1）根据椭圆的左焦点为，知，又点在椭圆上，故，所以，所以椭圆的方程为．（2）因为直线与椭圆和抛物线都相切，所以斜率存在且不为0，设直线的方程为，，代入椭圆方程整理得，由题可知此方程有唯一的解，此时△，即①，把代入抛物线的方程得，由题知此方程有唯一解，此时△，即②，联立①②得，解得，所以或，所以直线的方程为或．7．已知椭圆的离心率，轴被曲线截得的线段长为的长半轴长．（1）求、的方程；（2）设与轴的交点为，过原点的直线与相交于点，，直线、分别与相交于、两点．①证明：；②记、的面积分别为，，问：是否存在直线，使得？请说明理由．解：（1）令，则，解得，，由题意得，，，解方程组得，，，所以，．（2）①证明：设直线方程：，，，由得，，，点坐标为，所以，，；；则，即，②设直线，直线且；设，、，，由，得，同理，由，得，得，同理得，又，则，（由已知、同号、也同号，上式中的绝对值可以去掉），又，整理得得，，不妨取，，或，此时点坐标为或；所以直线方程为：，即存在直线，使得成立．8．已知椭圆的离心率为，，为上的一点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，，点关于原点的对称点分别为，点，当四边形的面积最大时，求的方程．解：（1）根据题意得：，解得，，．所以椭圆的方程为：．（2）由题意，设直线的方程为，代入得，当△，即时，直线与椭圆相交，设，，，，则，，所以△，，设，当且仅当，即时等号成立．此时，四边形的面积最大，直线的方程为：．9．已知点是椭圆的右顶点，为的对称中心，点，分别是轴，轴上的动点，且．记满足的点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）直线交于，两点，射线，分别交于，两点．设，的纵坐标分别为，当取得最小值时，求的斜率．解：（1）设点，，，由题意知，则，由，得，设点的坐标为，由，得，则，代入，得．，，故的方程为；（2）联立，得，设，，，，则，，直线的斜率为，直线的方程为，由，得，则，同理可得，，整理得，则，由均值不等式可得，当且仅当，即时，取得最小值，此时的斜率为．10．已知椭圆，右焦点为，短轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，线段中点为，且为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：（2）因为直线过点，若轴，则、是的短轴端点，显然不满足条件，所以设直线方程为：，设，，，，，则有，，先把的方程化为，再联立方程得，，由，和中点坐标公式得，，所以，所以，解得，，，所以方程为：、和．故答案为：（1）椭圆的方程为：，（2）直线方程为：、和．