大题专练训练23：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练23：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）-2022届高三数学二轮复习，共11页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，且经过点等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练23—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题3）1．已知椭圆经过点，且与椭圆有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两个不同点，为坐标原点，设直线，斜率分别为，，且，试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解：（Ⅰ）依题意可得：椭圆的焦点为，，则，所以，解得．所以．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）的面积为定值．由题意，可设，，，，因为，可得，即．①当直线的斜率不存在时，可得，，则，由，在圆上可知，，联立，可求得，．此时，．③当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，可得．△，所以，．又因为原点到直线的距离为，且．所以①，把代入①式可得：．因为，所以．化简得，②把，代入②式有：，所以，此时，△满足题意，所以．综上可知，的面积是定值且为．2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点．（Ⅰ）解：由椭圆离心率为，且经过点，可知．所以．所以．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得．△．设，，，，则．因为以线段为直径的圆经过点，所以．所以．，，由，整理得．解得或（都满足△．所以或．因为直线不过点，所以直线过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，，，，．，解得或（舍．综上直线过定点．3．已知圆，点为圆上的动点，轴，垂足为，若，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于，两点，为曲线上任意一点，且，证明：为定值．解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，，则有，，所以有，因为点在圆上，所以．则有，即，所以曲线的方程为．（2）由，有，显然△，设，，，，则，，设，则，又点在曲线上，则，又，，则，所以为定值．4．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的一点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为的直线（不过焦点）交椭圆于，两点，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）设椭圆的方程为：，设，，，则由已知可得：，即，解得，，故椭圆的方程为：；（2）证明：设直线的方程为：，，，，，则，，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的角平分线，所以，即，整理可得：①联立方程，消去整理可得：，则△，解得，且，，代入①整理可得：，即直线的方程为：，故直线恒过定点．5．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，，，，则由，解得，所以，因为，则有，，，所以，同理可得，所以，即是定值．6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．解：（1）由题意可知，，且，所以，，，所以椭圆方程为；（2）证明：由（1）知，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，设，，则，且，，所以直线的方程为，当，得．从而，直线的方程为，令，得，从而．．所以为定值．7．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，则满足方程组，解得，，所以椭圆方程为，（2）设直线的方程为，联立方程，消去整理得，△，设点，，，，，，的中点，，则，所以，的垂直平分线的方程为，令得，因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为．（3）假设存在，设，．结合第（2）问知：，所以所以设则对任意恒成立，所以，解得，，所以存在点，使得为定值．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆交于，，，四点，且，的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由椭圆的定义可得三角形的周长为，，又椭圆的离心率为，，则，椭圆的标准方程为；证明：（2）当的斜率存在且不为0时，设直线的方程为：，，，，，联立，．，，，，，，，当时，得，此时，直线过点，，当时，，，，、、三点共线；当的斜率不存在或存在为0时，，所在直线为轴，过点，．综上，直线过定点，定点的坐标为，．9．已知椭圆的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率存在直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值．解：（1）根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，设，，，，，，联立，得，所以△，，，，因为，所以，所以，，把点坐标代入椭圆的方程得，整理得，点到直线的距离，所以，所以的面积为定值．