大题专练训练21：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练21：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）-2022届高三数学二轮复习，共12页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，短轴长为2等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练21—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）1．已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：（1）设与轴的交点为，右交点为．由题意，则，当过右焦点时，周长取最大值，，且，椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，，，，，由，得，，，由题知，，，（舍去）或，此时，，则，故直线的斜率为，．2．已知椭圆的一个焦点为，且该椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得①，由点在椭圆上可得②，联立①②解得，，所以椭圆的方程为．（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，△，设，，，定点，，，则，，直线与直线关于轴对称，等价于直线，的斜率互为相反数，所以，即，因为，，所以，，所以，从而可得，即，所以当，即，时，直线与直线关于轴对称，当直线为轴时，，也符合题意，综上，存在轴上的定点，，使得直线与直线关于轴对称． 3．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．（1）求曲线的方程；（2）证明：为定值．解：（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所以点在圆内，又由点在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，，所以曲线的方程为．（2）证明：①当直线的斜率不存在时：设的方程为：，动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，所以，代入椭圆方程可得：，得，即点的坐标为：，．②当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，联立，可得．由△得，且，，又因为，所以，即，即，代入解得，，从而．综上，为定值．4．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下项点分别为，，四边形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于，两点，判断是否为定值，并说明理由．解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为．（2）方法1：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时可得，，，所以．若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，整理得，易得△恒成立．设，，，，，，则，由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以所以综上，为定值．方法2：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，整理得，易得△恒成立．设，，，，，，则，由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以所以．为定值．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，△面积的最大值为，且当时，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆的两个交点分别为、，且，都不在轴上，过点作轴的垂线，若横坐标为的点在直线上，求证：直线过．解：（1）依题意，①，②；由①可得，，即③；由②可得，④将④代入③中，整理可得，，即，即；因为，故，则，故椭圆的方程为；（2）证明：设，，，；①当直线与轴垂直时，，，且，故，，，这时直线的方程为，即．令，得，所以直线过；②当直线不与轴垂直时，可设其方程为，代入．整理得，所以，，因为，，，，，所以直线的方程为．因为，，所以，这说明直线过点．综上所述，直线过．6．如图，抛物线与椭圆相交于两点、，线段交轴于点，椭圆短轴的两个端点分别是、，且．（1）求抛物线与椭圆的标准方程；（2）设是线段上不同于点的任意一点，直线、分别交椭圆于点、，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）设抛物线与椭圆的方程分别为和，由点在抛物线上，得，所以，故抛物线的标准方程为．因为，，又，且所以，得．由点在椭圆上，所以，得．故椭圆的标准方程为．（2）证明：设，其中，且，则直线、的方程分别为，．将代入，整理得，得或．当时，，所以同理可得，所以直线的斜率，故直线的方程为．所以当时，，这说明直线恒过定点．7．已知椭圆的离心率为，且其右顶点到左焦点的距离为5．（1）求的方程；（2）点，在上，且为原点），证明：存在定点，使得到直线的距离为定值．（1）解：由题意得，解得，，故椭圆的方程是．（2）证明：①若直线与轴垂直，由对称性可知，将点，代入椭圆方程中，解得，②若直线不与轴垂直，设直线的方程是，，，，，由，消去整理得，故，，又，则，即，故，整理得，即，因为点到直线的距离为，故存在定点，到直线的距离为定值．综上，存在定点，使得到直线的距离为定值．8．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，，，联立，整理得，则，，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点．