一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）-2022届高三数学一轮复习

这是一份一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）-2022届高三数学一轮复习，共7页。试卷主要包含了已知函数，已知，其中，且等内容，欢迎下载使用。
一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）1．已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围．（2）证明：，．解：（1），等价于，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故实数的取值范围是，．（2）证明：由（1）可知在上恒成立，则，即，当且仅当时“”成立，取，2，3，，则，，，，，将上述不等式相乘可得，即，故．2．已知函数．（1）若，求实数的值；（2）求证：．解：（1），则．①当时，，在上单调递增，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；②当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；③当时，，由得，；由得，，在上单调递增，在上单调递减，又（1），成立；④当时，，由得，，由得，，在上单调递增，在上单调递减，（1），当时，（1），不符合题意，舍去；综上得，．（2）证明：由（1）知，当时，在上成立，即，令，则，，即，．3．设．（1）当时，求证：；（2）证明：对一切正整数，都有．证明：（1），，，单调递增，时，，在递增，；（2）时，，，，令，，2，3，，，，故原命题成立．4．已知函数．（1）证明：时，；（2）证明：时，．证明：（1）设，则，故函数为减函数，可得，即，故为减函数，所以．（2）由（1）知：时，，可得（1），所以，所以，因为时，，所以，所以，所以．5．已知函数．（1）求函数在，上的最大值；（2）当时，求证：．解：（1），①当时，，在，上单调递增，则；②当时，令，解得，易知当时，，单增，当时，，单减，当，即时，在，上单减，则；当，即时，在，单增，则；当，即时，在单增，在单减，则；（2）证明：当时，不等式显然成立；当时，有，设，，，，即．6．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）①若恒成立，求的值；②求证：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）解：（1）的定义域为，（1分）令得或时，；时，；时，所以，的单调增区间是，单调减区间是，，（3分）（2）①解：由，得对恒成立．记其中（1），，当时，恒成立，在上单调递减，时，（1），不符合题意；（4分）当时，令，得，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，（a）（6分）记（a），（a）．令（a）得，时（a）；时，（a），（a）在上单调递减，在上单调递增．（a）（1），即（a），（a）．又（1），故（8分）②证明：由①可知：，（当且仅当时等号成立）．令，则，．，．7．已知，其中，且（e）．（1）求与的关系；（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（3）证明：①；②．解：（1）由题意，，，，，所以；（2）由（1）知：，，令．要使在为单调函数，只需在满足：或恒成立．①时，，，，，在单调递减，适合题意．②当时，图象为开口向上抛物线，对称轴为．．只需，即时，，在单调递增，适合题意．③当时，图象为开口向下的抛物线，其对称轴为，只需，即时，恒成立．，在单调递减，适合题意．综上①②③可得，或． （3）证明：①即证：，设．当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数；为的极大值点，（1）．即，．②由①知，又，，，时，令，得，，，，结论成立．