2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的极值（二）（含解析）

《利用导数研究函数的极值》（二）

考查内容：主要涉及已知函数的极值求参数（或取值范围）

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若函数在时取得极值，则（      ）

A． B． C． D．

2．函数在时有极值0，那么的值为　　

A．14 B．40 C．48 D．52

3．已知函数在处有极值，则等于（  ）

A．或 B． C． D．或

4．已知函数在处的极值为6，则数对为（    ）

A． B． 

C． D．或

5．函数在处取极小值，则（    ）

A．6或2 B．或 C．6 D．

6．若函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

7．若有极大值和极小值，则a的取值范围是（    ）

A．(－1,2) B．(－∞,－1)∪(2,+∞)

C．(－3,6) D．(－∞,－3)∪(6,+∞)

8．已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．若函数在内有极小值，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

10．若函数在区间上有两个极值点,则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

12．设函数，若是的极大值点，则m的取值范围为（    ）

A． B． 

C． D．

二．填空题

13．已知函数在处有极小值，则实数的值为___

14．已知,在处有极值,则 ______ ．

15．已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是____________

16．已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为___

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

18．若函数,当时,函数有极值为.

(1)求函数的解析式；

(2)若有个解,求实数的取值范围.

19．设函数在及时取得极值．

（1）求 的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．

20．已知函数（其中，为自然对数的底数）．

（1）若函数无极值，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：．

21．已知函数

（1）判断的单调性；

（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.

22．已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，证明: ．

《利用导数研究函数的极值》（二）解析

1.【解析】因为，所以，

又函数在时取得极值，

所以，解得.故选D

2.【解析】函数，，若在时有极值0，可得，则，

解得：，或，，

当，时，满足题意函数在时有极值0．

当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．

3.【解析】由题意，函数，则，

可得，解得或，

（1）当时，，所以在处不存在极值；

（2）当时，，

当时，，当时，，符合题意，

所以，所以，

所以，故选B．

4.【解析】由得：，
在处有极值6，，

计算得出：，或，

则数对为或.所以D选项是正确的.

5.【解析】或

当时，，

当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去；

当时，，

当时，当时，函数在处取极小值，

故选：D

6.【解析】，则，函数有极大值极小值，故.取得到，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故极大值为，

极小值为，解得，.

故单调区间为.故选：.

7.【解析】函数，

所以，
因为函数有极大值和极小值，所以方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
，解得：或.故选：D.

8.【解析】，设，

因为函数在上有极值，所以有正有负.

令，由可得，即.

得到.所以故选：B

9.【解析】解得 .

因为函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，所以.极值点在(0,1)上,

所以在递增，在递减；

递增；所以在取极小值，

,,故选A.

10.【解析】

，可得,要使恰有2个正极值点，

则方程有2个不相等的正实数根，

即有两个不同的正根，

的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，

由可得在上递减，

由可得在上递增，，

当时，；当时，

所以，当，即时，

的图象在轴右边有两个不同的交点，

所以使函数在区间上有两个极值点，

实数的取值范围是，故选D.

11.【解析】∵函数的定义域是

∴，

∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，

∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以的最小值为，所以必须，故选：A．

12.【解析】由题意知，且，

因为是的极大值点，所以，即，

所以，

当时，，

所以的解为，当时，，

当时，，此时是的极大值点，符合题意；

当时，解得或，因为是的极大值点，

所以，解得；综上所述，.故选:A.

13.【解析】由，∴，∴或6.

①当时，，令，得或，当或时，，当 时，，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，

所以函数在处取极大值，不合题意舍去；

②当时，，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以函数在和上是减函数，在上是增函数，

所以函数在处取极小值，综上，.故答案为：6

14.【解析】由题,,故，故答案为-6

15.【解析】由题意，，则，解得-1＜a＜7，经检验当a=-1时，的两个根分别为，所以符合题目要求，时，,在区间无实根，所以．

16.【解析】由题意，函数的定义域为，

则，

因为函数有2个极值点，所以有两个不相等的实数根，令，则，

若时，，所以函数单调递增，

所以函数在上不可能有两个实数根，（舍去）；

若时，令，即，解得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数求得极大值，极大值为，

又由时，，时，，

要使得在区间有两个不相等的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.

17.【解析】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，

故函数的最小值为.

18.【解析】（1）因为，所以，

由时，函数有极值，

得，即，解得

所以；

（2）由（1）知，所以，

所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，有极大值；当时，有极小值，

因为关于的方程有三个不等实根，

所以函数的图象与直线有三个交点，

则的取值范围是.

19.【解析】（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即解得，．

（2）由（1）可知，，

．

当时，；当时，；

当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，

的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，

因此的取值范围为．

20.【解析】（1）函数无极值， 在上单调递增或单调递减.

即或在时恒成立；又，

令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增；，

当时，，即，

当时，显然不成立；所以实数的取值范围是.

（2）由（1）可知，当时，当时，，即.

欲证 ，只需证即可.

构造函数= （），

则恒成立，

故在单调递增，

从而.即，亦即.

得证.

21.【解析】（1）因为，所以，令．，

即时，恒成立，此时，

所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，

设为（），则，．

当或时，，

此时，所以函数在和上为减函数；

当时，，此时，所以函数在上为增函数．

（2）对函数求导得. 因为存在极值，

所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，

所以方程必有两个不等正根.

设方程的两个不等正根分别为，则，

由题意知

，

由得，

即这些极值的和的取值范围为．

22.【解析】（1）∵，

∴．

①当，即时，，所以在单调递增；

②当，即时，

令，得，，且，，

当时，；

当时，；

∴单调递增区间为，；

单调递减区间为．

综上所述：当时，在单调递增；

时，在区间，单调递增；在区间单调递减．

（2）由（1）得．

∵函数有两个极值点，，

∴方程有两个根，，

∴，且，解得．   

由题意得

．

令，则，

∴在上单调递减，∴，

∴．