2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的几何意义（一）（含解析）

《导数的几何意义》（一）

考查内容：主要涉及切线方程问题（倾斜角、斜率、切点坐标、过某点和在某点问题的切线方程等），求参数值（或取值范围），求最小距离等

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．曲线在点处的切线方程是   

A． B．

C． D．

2．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（　　）

A． B． 

C． D．

3．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

4．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．设曲线在点处的切线方程为，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为（   ）

A． B．

C． D．

7．若曲线在处的切线也是的切线，则（    ）

A．-1 B．-2 C．2 D．

8．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

9．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ）

A． B． C．-2 D．2

10．若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为   (    )

A． B． C． D．3

11．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）

A．                              B．        

C．和                    D．和

12．已知，若实数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．已知函数．则函数在处的切线方程为____

14．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.

15．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．

16．曲线在点处的切线方程为，则 _____.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．己知函数，求：

（1）函数的图象在点处的切线方程；

（2）的单调递减区间.

18．已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间

19．已知函数，，且.

（1）求实数m的值，并求在区间上的值域.

（2）求曲线过点的切线方程.

20．已知函数，.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

21．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间.

22．已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；

（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.

《导数的几何意义》（一）解析

1.【解析】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．

曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．

即x﹣y+1=0．故选A．

2.【解析】由函数，得f′（x）=x2-2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），

则f′（x0）=x02-2x0=（x​0-1）2-1≥-1，∴tanα≥-1，∴0≤α＜或≤α＜π．

∴过函数图象上一个动点作函数的切线，

切线倾斜角的范围为 ．故选B．

3.【解析】的导数为

令可得，解得，

曲线在处的切线斜率为 ，故选A

4.【解析】

，由图可知：，

即.故选：B

5.【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D

6.【解析】设切点为则切线方程为，从而斜率

解得所以的方程为即故选C.

7.【解析】由得，，又，所以曲线在处的切线方程为，设直线与曲线切于点，由得，，所以，，所以，解得．故选：B．

8.【解析】，，

，解得：.故选：.

9.【解析】由题意得，，

∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，

故选：A．

10.【解析】点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，

当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．

直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，

解得：x=1，或 x=﹣（舍去），

故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），

点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，

故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．故选：A．

11.【解析】依题意令，解得，，

故点的坐标为，故选C.

12.【解析】点在曲线上，点在曲线上，

的几何意义就是曲线上的点到曲线上点的距离最小值的平方，如下图所示：

考查曲线平行于直线的切线，

，令，解得或（舍去），

所以，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，

故的最小值为，故选：C．

13.【解析】，，

，，故切线方程为：，即．

故答案为：．

14.【解析】因为，所以，

因此，曲线在点处的切线斜率为；

又该切线与直线垂直，所以.

15.【解析】∵f′（x）＝3x2+6x，

①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）＝0，则切线方程为y＝0；

②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），

则切线的斜率为，因此切线方程为，

因为切线经过原点（0，0），∴，∵x0≠0，解得．∴切线方程为，化为9x+4y＝0．

∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．故答案为y＝0或9x+4y＝0．

16.【解析】，，

函数在点处的切线斜率为，可得，

，且点在直线上，所以，，

因此，.

17.【解析】（1）由题意得：，

，又，

在处的切线方程为，即.

（2）由（1）知：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，.

18.【解析】（1）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+x+2，f'（x）=3x2+2bx+．  

∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0

∴f'（x）|x=﹣1=3x2+2bx+=3﹣2b+=6①，  

还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，

得到﹣1+b﹣a+2=1②  

 由①、②联立得b==﹣3  故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．

（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0.

解得x1= ,x2=.  

当x<,或x>1+时，f'（x）>0；当<x<时，f'（x）<0.    

故f（x）的单调增区间为（﹣∞, ），（,+∞）；

单调减区间为（,）

19.【解析】（1）函数，则，

又，则，解得，所以，

令，解得或，

令，解得，

令，解得或.

所以在区间上随变化情况：

所以在区间上的值域为.

（2）由（1）可知，，点在曲线上，

由，则切线的斜率为，

所以曲线过点的切线方程为，

即切线方程：.

20.【解析】（1）当时，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）因为函数在上是减函数，

所以在上恒成立.

做法一：令,有，得，故.

实数的取值范围为

做法二：

 即在上恒成立，则在上恒成立， 

令，显然在上单调递减，

则，得。实数的取值范围为

21.【解析】（1）∵，∴，∴，即

，，

由导数的几何意义可知所求切线的斜率，

所以所求切线方程为，即.

（2），

当时，∵，∴恒成立，

∴在定义域上单调递增；

当时，令，得，

∵，∴，得；得；

∴在上单调递减，在上单调递增.

22.【解析】（1）由题意，函数.

故，则，

由题意，知，即.

又，则.

，即..

（2）由题意，可知，即恒成立，恒成立.

设，则.令，解得.

令，解得.令，解得x.

在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值..，故的最大值为.