2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题（含解析）

《导数的综合应用—方程的根问题》

考查内容：主要涉及到利用导数解决方程的根（或函数零点）问题

注意：复杂的复合函数求导一般为理科内容

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，若函数有零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

5．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

6．已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．已知，若恰有两个根，则的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

10．已知函数与的图像上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为(   )

A． B． C． D．

11．方程有三个不同的解，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数为自然对数的底数）与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是___

14．已知关于x的方程有2个不相等的实数根，则k的取值范围是___

15．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____.

16．已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是_____．

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．设函数.

（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围.

18．已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.

19．已知函数

（1）当m=2时，求曲线在点（1，f(1)）处的切线方程；

（2）当m=1时，求证：方程有且仅有一个实数根；

（3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

20．已知函数，

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围

21．已知函数.

（1）当且时，求函数的单调区间；

（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.

22．已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

《导数的综合应用—方程的根问题》解析

1.【解析】函数有零点等价于方程有解，令，，当时，，函数单调递增；当时，,函数单调递减，又，所以.故选B

2.【解析】由题意得，设，.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数,且.

所以有最大值，简图如下，

由图可知，时符合题意.故选：C.

3.【解析】

函数的导数为：，

解得或，函数递增；解得，函数递减；

即取得极大值，取得极小值；作出的图像，作出直线，

由图像可得当时，直线与的图像有3个不同的交点.故选：B

4.【解析】，当时，无实数解，不符合题意，故.于是有，令，显然当时，；当时，.，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，函数的图象一致如下图所示：

因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D

5.【解析】对函数求导，，∴，当时，单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，要有三个不等实根，则，且，解得．

6.【解析】，

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数；

所以的图像如图所示

又时，，又的值域为，

所以当或时，方程有一个解，

当时，方程有两个不同的解，

所以方程即有两个不同的解，

令，故  ，解得，故选：D

7.【解析】令，即，得或，

则直线和直线与函数的图象共有个交点.

当时，，，令，得.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

函数的极大值为，且当时，，如下图所示：

由于关于的方程有个不同的实数解，

由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，

所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.

8.【解析】由题意，函数的定义域为，

又由，得，

则等价为方程，在上有两个不同的根，

设，，

由得得，得，

此时，函数为增函数，

得得，得或，

此时，函数为减函数，

即当时，函数取得极大值，极大值为，

要使，有两个根，则即可，故实数的取值范围是，

故选D．

9.【解析】当时，；当时，，值域为，

等价于，则与恰有两个不同的交点，

在平面直角坐标下中作出图象如下图所示：

由图象可知：，即，，，，令，，，，

令，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，，

即.故选：.

10.【解析】函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，

∴f（x）＝﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3＝﹣x3+ax，

∴lnx＝ax，即在（0，+∞）有解，令，则.

当单调递增； 单调递减.

，且，所以.故选B.

11.【解析】令，，

当，当，

递增区间是，递减区间是，

取得极大值为，也为最大值，

，，

当或时，方程有一个解，

当时，方程有两个解，

当时，方程没有实数解，

方程有三个不同的解，

则要有两个实数解，设为，

，必有一个根小于0，只需另一根在，

设，

解得.故选:B.

12.【解析】设的图像上与的图像上关于对称的点为，

故，消去得到，两边取对数有：，

因为，故，令，，

则，.令.

因为为上的增函数，且当时，,

故当时，，当时，；

所以当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

因为，，

所以的值域为，故.故选:A.

13.【解析】令，则

由得或，由得

所以在和上单调递增，在上单调递减

所以的极大值为，极小值为

由方程只有一个实数解可得函数只有一个零点

所以或，解得或

故答案为：

14.【解析】由题意，关于x的方程有2个不相等的实数根，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

设，则，令，解得，

所以函数的减区间为，增区间为，

所以函数的最小值为，

且当时，，当时，，

要使得有2个不相等的实数根，所以．

即实数的取值范围是.

15.【解析】令可得，

令，则，

因为当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时取得最小值，

又，所以，

因为在上有两个解，所以.

16.【解析】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；

当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：

有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，

又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.故答案为

17.【解析】（1）由题意，

因为，，即恒成立，

所以，可得，

所以的最大值为；

（2）因为当或时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以当时，取极大值；

当时，取极小值；

所以当或时，方程仅有一个实根.

所以或即或，

故的取值范围为.

18.【解析】（1）当x＝2时，f（2）＝7，故切点坐标为（2，7），

又∵f′（x）＝6x2﹣6x．∴f′（2）＝12，即切线的斜率k＝12，

故曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7＝12（x﹣2），

即12x﹣y﹣17＝0，

（2）令f′（x）＝6x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝1

当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，

故当x＝0时，函数f（x）取极大值3，

当x＝1时，函数f（x）取极小值2，

若关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2

故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）

19.【解析】（1）m=2时，

切点坐标为（1，0），∴切线方程为；

（2）m=1时，令,

则，∴在（0，+∞）上是增函数

又在上有且只有一个零点

∴方程有且仅有一个实数根； （或说明也可以）

（3）由题意知，恒成立，

即恒成立，`

则当时，恒成立，

令，当时，

则在时递减，∴在时的最小值为，

则m的取值范围是.

20.【解析】（1）当时，，，，．切线方程为，化简得．

曲线在点处的切线方程为．

（2），定义域为，函数在上有两个零点，即方程在上有两个正根，

即与的图象在上有两个交点，

，令，，

所以在上单调递减，且．

所以当时，中，即，单调递增；

当时，，即，单调递减．

所以．又知，．

结合与图象可知，若有两个交点只需．

综上可知满足题意的范围为．

21.【解析】（1）函数的定义域是，

.

①当时，在上恒成立，在上恒成立，

的增区间为，的减区间为.

②当时，，

在和上恒成立，在上恒成立.

∴时，的增区间为和，的减区间为.

综上所述，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）若，，

关于的方程有三个不同的实根，等价于的图象与直线有三个交点.，

，由解得或,由，解得.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，，又∵当趋近于时趋近于，

当在定义域内趋近于0时，趋近于-，∴趋近于-，

∴的图象与直线有三个交点时的取值范围是.

22.【解析】（1）依题意，得，.令，即，解得；

令，即，解得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题得， .

依题意，方程有实数根，即函数存在零点，

又，令，得.

当时，，即函数在区间上单调递减，

而， ，

所以函数存在零点；

当时，，随的变化情况如表：

所以为函数的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当，即时，注意到，，

所以函数存在零点.

综上所述，当时，方程有实数根.