2022高考文科数学二轮专题复习（全国版word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

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新情境试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，是近年高考考查的热点内容.试题往往使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，以日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题为背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生充分感受到数学的应用价值，强调以素养为导向，深受命题专家的青睐.试题多以图、表、文并用的方式呈现，各种题型都有可能出现.
热点关注 分类解读
动态1 突出五育并举，培养时代新人
【例1】 (女排精神/2021·天津检测)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人继续奋斗、自强不息的精神符号.某大学组织学生看过电影《夺冠》后，举行了“学习女排精神，塑造健康体魄” 的主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高.现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据(单位：分)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，则成绩落在[70，80)内的人数为( )
A.12 B.120
C.24 D.240
答案 D
解析 易知题图中所有小长方形(包括区间[70，80)对应的小长方形)的面积之和等于1，则成绩落在[70，80)内的频率为p＝1－10×(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)＝0.3.
因为一共抽取800个学生进行体能测试，所以样本容量为800，
所以成绩落在[70，80)内的人数为800×0.3＝240.
点评 1.本题以“电影《夺冠》”为背景考查频率分布，体现了“德育的素养导向，学习‘女排精神’”，立德树人.
2.求解的关键是理解频率分布直方图的特征，用频率估计总体分布，特别注意，小长方形的面积表示数据分布在对应区间内的频率.
【例2】 (智育为先/2021·天津调研)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点P(1，－2)处出发，河岸线对应的直线方程为x＋3y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为( )
A.4 B.5
C.eq \f(3\r(10),2) D.eq \r(5)－1
答案 A
解析 如图所示，设点P(1，－2)关于直线x＋3y＝5的对称点为Q(a，b)，连接PQ，OQ.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b＋2,a－1)＝3，,\f(a＋1,2)＋3×\f(b－2,2)＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝4，))
所以Q(3，4)，所以|OQ|＝eq \r(32＋42)＝5，
又圆x2＋y2＝1的半径为1，
所以“将军饮马”问题中的最短总路程为4.
点评 1.本题以“唐代诗人李颀的诗《古从军行》中的数学问题”为背景，考查直线与圆的位置关系、对称性问题与最值问题，体现了智育的素养导向，同时考查中国传统文化，提升学生修养.
2.破解此类最值问题的关键在于“化折为直”，即把一动点到两定点的距离和的最小值问题，通过对称思想，转化为两点间的距离问题.
【例3】 (美育为魂/2021·湖南衡阳八中检测)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.以如图所示的建筑物为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 设正四棱锥的底边为a，斜高为h，
则底面积为a2，所以该正四棱锥的侧面积为3a2，
则2ah＝3a2，所以h＝eq \f(3,2)a.①
设该正四棱锥的内切球的半径为r，作出示意图，如图所示，其中E，F分别为AB，CD的中点，H为底面的中点，PF与球O相切于点G.
易知△OGP与△FHP相似，所以有eq \f(OG,HF)＝eq \f(PO,PF)，
所以eq \f(r,\f(a,2))＝eq \f(\r(h2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2))－r,h).②
联立①②，得r＝eq \f(\r(2)a,4)，所以eq \f(r,a)＝eq \f(\r(2),4)，
则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比值为eq \f(\r(2),4).
点评 1.本题以“攒尖”为背景，考查正四棱锥内切球等知识，“攒尖”体现古典建筑之美，反映人民群众的智慧，陶冶情操，体现了美育的素养导向.
2.解题关键：盯“题眼”和细“观图”，会利用所给的实物的特征及题目中的“题眼”，如本例，从题眼“正四棱锥的侧面积是底面积的3倍”，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系.
【例4】 (劳技为本，实践创新)学校开展劳动实习课，某班将在如图所示的曲边梯形ABCD的场地中建矩形花圃EBFH，经建系测绘，收集到以下信息：D(0，0)，A(2，0)，B(2，8)，C(－2，8).曲线CD可以近似看作函数y＝－x3图象的一段，AD⊥AB，AD∥BC.现要求矩形花圃EBFH的顶点E，F，H分别落在边AB，边BC和曲边CD上，若点H的横坐标为x且x∈(－2，－1]，花圃EBFH的面积S与x的函数关系式记为S(x)，则下列四个结论：
①S(x)在(－2，－1]上单调递增；
②S(x)在(－2，－1]上先单调递增再单调递减；
③S(x)在(－2，－1)上存在最大值；
④S(x)的最大值为21.
其中正确的命题序号为( )
A.①③ B.①④
C.②④ D.③④
答案 B
解析 S(x)＝(2－x)(8＋x3)，x∈(－2，－1]，
S′(x)＝－2(2x3－3x2＋4).
令f(x)＝－2(2x3－3x2＋4)，x∈(－2，－1]，
则f′(x)＝－12x(x－1).
因为x∈(－2，－1]，所以f′(x)＝－12x(x－1)0.
所以S(x)在(－2，－1]上单调递增，S(x)max＝S(－1)＝21.
因此命题①④正确.
点评 1.本题以“测量花圃的面积”为背景，考查函数的单调性与最值，引导学生积极关注并开展劳动实践活动.
2.解本题抓住两点：(1)准确求出目标函数S(x)；(2)利用导数工具讨论函数的单调性和最值.需要注意的是“二次求导”的活用是关键.
【例5】 (体育为基，强体固本)建设体育大国和体育强国是实现“两个一百年”奋斗目标的重要组成部分.为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从4万多名在校大学生中抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如图所示的统计图.
运动强度统计图
平均单次运动时间统计图
对比图中信息并进行分析，下列说法正确的是( )
A.大量出汗并感到很疲乏的男生人数是女生人数的2倍
B.男生中运动时间超过1小时的超过70%
C.女生的平均运动强度高于男生的平均运动强度
D.运动时间在0.5～1时内的男生人数与运动时间在1～2时内的女生人数相同
答案 D
解析 对于A，大量出汗并感到很疲乏的男生超过110人，而女生约为50人，因此大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多，因此A不正确.
对于B，男生中运动时间在0～1时内的超过70人，占所有男生的比例超过eq \f(70,200)×100%＝35%，因此男生中运动时间超过1小时的占比没达到70%，因此B不正确.
对于C，由题图易知男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度，因此C不正确.
对于D，运动时间在0.5～1时内的男生有50人，运动时间在1～2时内的女生也有50人，因此D正确.
点评 1.本题以建设体育强国为背景考查对条形图的理解、对样本的分析及估算法的运用，体现了体育教育的素养导向.
2.求解的关键是会明晰图意，如本题，不仅会观察条形图的特征，还需关注条形图中“Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，a，b，c，d，e”所表示的意义.
动态2 聚焦社会热点，彰显责任担当
【例1】 (生态文明建设/2021·江西六校联考)改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设.扬州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若已知市财政下拨一项10 000万元的专款，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为关于投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)，M(x)＝eq \f(40x,10＋x)，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为关于投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)，N(x)＝0.25x.
(1)设分配给植绿护绿项目的资金(单位：百万元)为a，两个生态维护项目五年内带来的收益总和(单位：百万元)为y，写出y关于a的函数解析式和定义域；
(2)生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少.
解 (1)由题意可得处理污染项目投放资金(单位：百万元)为100－a，
所以N(a)＝0.25(100－a)，
所以y＝eq \f(40a,10＋a)＋0.25(100－a)，其定义域为[0，100].
(2)由(1)可得，y＝eq \f(40a,10＋a)＋0.25(100－a)
＝65－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(400,10＋a)＋\f(a,4)))＝67.5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(400,10＋a)＋\f(10＋a,4)))
≤67.5－2eq \r(\f(400,10＋a)×\f(10＋a,4))＝67.5－20＝47.5，
当且仅当eq \f(400,10＋a)＝eq \f(10＋a,4)，
即a＝30时等号成立，
此时100－a＝100－30＝70.
所以y的最大值为47.5，分别投资给植绿护绿项目、处理污染项目的资金为3 000万元，7 000万元.
点评 1.本题以“植绿护绿和处理污染两个生态维护项目”为背景，考查函数模型、利用基本不等式求最值等知识.
2.求解此类优化问题的关键是读懂题意，并会构建函数模型，注意联系实际求函数的定义域.
【例2】 (精准扶贫/2021·郑州调研)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x，将指标x分成[0，0.2)，[0.2，0.4)，[0.4，0.6)，[0.6，0.8)，[0.8，1.0]五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若0≤x0，故B正确，C错误；
把x＝7代入eq \(y,\s\up6(^))＝45x＋5，得eq \(y,\s\up6(^))＝320≠365，故D错误.
点评 1.本题以“5G技术研发试验”为背景考查相关关系的判断，回归直线方程及应用，树立科技报国、科技创新的发展理念.
2.解题的关键有三点：(1)回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，(2)理解回归系数的含义，(3)利用回归直线方程进行科学预测.
【例2】 (化学中的同位素技术/2021·潍坊调研)随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝2－eq \f(t,30)P0，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－eq \f(3\r(2)ln 2,10)，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天 B.30天
C.45天 D.60天
答案 D
解析 由P(t)＝2－eq \f(t,30)P0，得P′(t)＝－eq \f(1,30)P02－eq \f(t,30)ln 2.①
当t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－eq \f(3\r(2)ln 2,10)，
把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15，－\f(3\r(2)ln 2,10)))代入①式，解得P0＝18，
则P(t)＝18×2－eq \f(t,30).
当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，
所以18×2－eq \f(t,30)＝4.5，即2－eq \f(t,30)＝eq \f(1,4).
所以－eq \f(t,30)＝－2，解得t＝60.
点评 1.本题以“某放射性同位素的衰变过程中含量与时间的关系”为背景考查导数的应用等知识，是新函数模型题，考查科学技术在医学、航天领域的应用.
2.解决此类问题的关键是对模型的判断(如本题中的模型是指数型函数模型)，先设定模型，依据题眼“瞬时变化率”联想导数的几何意义，对函数进行求导，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
【例3】 (数学美术融合/2021·东北师大附中检测)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.如图所示，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处分别作圆弧的切线，两条切线交于点B，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm.根据测量得到的结果推算，该圆弧对应的圆心角大约等于(参考数据：eq \f(\r(3),2)≈0.866)( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
答案 A
解析 设∠ABC＝2θ，过点B作AC的垂线，垂足为D.
易知∠ABD＝θ，AD＝5.196 cm，
则sin θ＝eq \f(5.196,6)＝0.866≈eq \f(\r(3),2)，所以θ≈eq \f(π,3)，2θ＝eq \f(2π,3).
设该圆弧对应的圆心角为α，则α＋2θ＝π，所以α＝eq \f(π,3).
点评 本题以《蒙娜丽莎》为背景，将数学与美术相融合，体现了三角函数知识在美术中的应用，考查了学生运用数学思维分析问题、解决问题的能力，体现了“五育并举”方针的贯彻及立德树人根本任务的落实，突出数学学科应用特色.
【例4】 (物理智能技术与数学融合)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离(单位：米)分别为d0，d1，d2，d3，如图所示.当车速为v(单位：米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到表中给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2]).
(1)请写出报警距离d与车速v之间的函数关系式，并求出当k＝1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度限制在多少千米/时内？
解 (1)由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，
所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋eq \f(v2,20k)＝10＋v＋eq \f(v2,20k).
当k＝1时，d(v)＝10＋v＋eq \f(v2,20)，
设汽车撞上固定障碍物的时间与车速v的函数关系为t(v)，则t(v)＝eq \f(10,v)＋eq \f(v,20)＋1≥1＋2eq \r(\f(10,v)×\f(v,20))＝1＋2×eq \f(\r(2),2)≈2.4(秒)，当且仅当eq \f(10,v)＝eq \f(v,20)，即v＝10eq \r(2)时，取等号.
故所求最短时间约为2.4秒.
(2)根据题意得，∀k∈[1，2]，d(v)