2021学年第四章 数列4.3 等比数列评课ppt课件

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某人准备购买一辆汽车,向银行贷款6万元,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月开始付款,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.457 5%,那么这人每月还多少钱呢?
等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).(2)当n是偶数时,S偶=S奇·q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1.
微练习一个等比数列的前n项和为45,前2n项和为60,则前3n项和为(　　)A.65　　B.73　　C.85　　D.108解析:由等比数列的性质得Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.等比数列的前n项和为45,前2n项和为60,∴45,60-45,S3n-60成等比数列,∴(60-45)2=45(S3n-60),解得S3n=65.答案:A
等比数列前n项和的性质例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　; (2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　; (3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　　. 
分析:运用等比数列前n项和的性质求解.
解析:(1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,
反思感悟等比数列前n项和的性质1.若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.2.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.3.当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比
等差数列与等比数列的综合问题
(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.
分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求{Sn}的前n项和.
反思感悟数列综合问题的关注点1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.
解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
所以数列{an}的通项公式为an=4n+1.(2)由an=4n+1,得bn=24n+1,所以{bn}是首项为b1=25,公比为q=24的
等比数列的实际应用例3小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,……购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少?
分析:根据题意,列出第k个月末付款后的欠款本利或第k个月时的已付款及利息是解题的关键.
解:(方法一)设小华每期付款x元,第k(k取2,4,6,8,10,12)个月末付款后的欠款本利为Ak元,则A2=5 000×(1+0.008)2-x=5 000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5 000×1.0084-1.0082x-x,……A12=5 000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,
故小华每期付款金额约为880.8元.
(方法二)设小华每期付款x元,到第k(k取2,4,6,8,10,12)个月时已付款及利息为Ak元,则A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),……A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5 000×1.00812,即5 000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
反思感悟分期付款问题的求解策略分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题通常有两种处理方法,一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.
变式训练2某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长 .求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
分类讨论思想在数列求和中的应用
分析:数列的通项公式为分段函数的形式,因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律,奇数项是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项为首项为9,公比为9的等比数列,在求和时,应对奇数项和偶数项分别求解.
方法总结分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解.解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论.需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.
1.已知等比数列{an},an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(　　)A.3n-1 B.3(3n-1)
解析:由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,9为公比的等比数列,所以其前n项和为
2.已知等比数列的前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为(　　)
解析:设数列的前n项和为Sn,则由题意知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等比数列,所以(60-54)2=54(S3n-60),解得
3.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+r,则r=　　　　. 
4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(n∈N*)为　　　　　. 
解析:记第n天植树的棵数为an,则数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列.
5.已知数列{an}的首项a1= ,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(n∈N*).(1)求a2及an;