专题09 函数的对称性与周期-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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专题09  函数的对称性与周期【方法点拨】1.对于函数f(x)，若非零实数a满足对于任意x∈D，都有f(a＋x) ＝f(x)，则称a为函数的一个周期.其意义是自变量每增加或减少a（或其整数倍），函数值不变.其作用是转移变量的范围进行函数的求值.2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．说明：函数的奇偶性是特殊的对称性，遇函数的对称性问题应往奇偶性方向转化.3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．记忆口诀：多重对称性生周期性，同2倍之异4倍之．【典型例题】例1              定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，求证：（1）；（2）．证明：（1）因为的图象关于直线对称，所以所以又因为是奇函数，所以所以.（2）由（1）得.点评：（1）              迭代法，对于抽象函数，可反复使用法则或定义实施代入.（2）              本题是对函数的周期性与对称性之间关系的证明.例2   定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（    ）．A．；            B．；             C．；           D．．    【答案】B．【分析】由题目中给出的双对称性得周期性，将所求转移至已知区间即可.【解析】因为是奇函数且满足，所以因为，所以因为当时，所以另一方面所以.例3   设函数的图像关于直线对称．若时，，则当时，的解析式是（    ）．A． B．C． D．【答案】B．【分析】将求转移至已知区间，然后利用对称性化简.【解析】当时，则因为时，所以又因为函数的图像关于直线对称所以所以，故选：B.【巩固练习】1. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（  　）．A．是偶函数          B．是奇函数C．          D．是奇函数2.已知为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，，则当 时，__________．3.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（    ）A． B．C． D．4. 函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________5. 已知函数满足，且时，，则（    ）A．0 B．1 C． D．6.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则   87.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；    ②的图象关于点对称；③是偶函数；                 ④的图象经过点；其中正确论断的个数是______________.
【答案与提示】1. 【答案】D【解析】∵与都是奇函数，∴，，∴函数关于点及点对称，函数是周期的周期函数．∴，，即是奇函数．故选D．2.【答案】．3. 【答案】.【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.4. 【答案】.【解析】恒成立，函数关于对称，函数在上单调递增，函数在单调递减，关于的不等式，，解得，即或，解得，故不等式的解集为.5. 【答案】C【解析】因为，所以 ，选C.6.【答案】－87.【答案】3【解析】命题①：由，得：，所以函数的周期为4，故①正确；命题②：由是奇函数，知的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，故②正确；命题③：由是奇函数，得：，又，所以，所以函数是偶函数，故③正确；命题④：，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.