第1讲 找规律

【学习目标】

1、掌握算式、图形、数列、周期等规律，并可依此规律归纳猜想结论。

2、通过观察、猜想、归纳、验证的过程，提高探索实践能力。

一、算式中的规律

在数学算式中探索规律，应认真观察算式特点，根据规律完成这类题。

二、数列中的规律

观察结果（如奇、偶项）的特点，知道常用的等差、等比，斐波那契数列等常用模型。

三、图形中的规律

解答数图形的问题，要做到不重复，不遗漏。分类和有序是关键。

掌握如：数线段的一般公式：（n为线段的端点总数）。

数长方形、正方形时，也可根据此类公式。

数长方形个数的公式：长边上的线段条数×宽边上的线段条数

数正方形的个数公式：n×n+（n-1）×（n-1）+……+2×2+1×1（n为正方形一边上的小格数）

四、方阵中的规律

方阵问题的特点是：方阵每边的人或物数量相等；相邻两层，每边上的数量相差2。

每边数与四周数的关系：四周数=（每边数-1）×4 ；每边数=四周数÷4+1

实心方阵的总数：外层每边数×外层每边数

空心方阵的总数：（外层每边数-层数）×层数×4

五、周期中的规律    主要是找出周期，确定周期后用总量除以周期。

六、搭配中的规律

    加法原理与乘法原理

几个常用公式：

， ；

，

【温故知新】

例1：下面是用棋子摆成的“上”字：

第一个        第二个       第三个

      如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用       和         枚棋子；
（2）第n个“上”字需用         枚棋子。

【答案】（1）18，22          （2）4n+2

举一反三：

1、如下图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第个“山”字中的棋子个数是        。

【答案】5n+2

2、如下图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表：

【答案】

例2：

（1）如下图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是（      ）。

（2）将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到         条折痕；如果对折n次，可以得到            条折痕。

【答案】（1）C      （2）15，

举一反三2：

1、小强拿了一张正方形的纸如下图①，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是（        ）。

2、将等边三角形纸片按下图所示步骤折叠3次（图中的虚线是三边的中点的连线），然后沿过两边的中点的直线剪去一角。

将剩下的纸片展开，平铺，得到的图形是____________。

3、如下图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第6个图形由__________个圆组成。

【答案】1、D          2、丁        3、91

例3： 根据计算结果猜想计算规律。

（1）观察下列各式：1×3=+2×1，
               2×4=+2×2，
               3×5=+2×3，
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来：                。

（2）观察下列各式：

……

猜想：               。

【答案】（1）      （2）

举一反三3：

1、观察下列各式：

……

用n（n为非零自然数）表示出来=　　　　　　　　。

2、已知n(n≥2)个点在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上。设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然：S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…由此推断，Sn=_______________。

 ※3、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。
 

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了            块石子。

【答案】1、    2、    3、

小结：

【巩固练习】

1、用围棋子摆三角形。摆一个最小的三角形要两排3颗棋子，继续摆再大一点的要三排6颗棋子，摆四排要10颗棋子......摆n排要         颗棋子。

    ......

2、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你这种规律写出第七个数据是（      ）。

3、观察1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25,1+3+5+7+9+11=36这五道算式，找出规律，，，用含n的代数式表示第n个式子。

4、有一颗棋子放在如图中的1号位置，现按顺时针方向，第一次跳1步，跳到2号位置；第二次跳2步，跳到4号位置；第三次跳3步，又跳到1号位置......这样一直进行下去，（      ）号位置永远跳不到。

5、观察下列顺序排列的等式：

猜想：第个等式应为                              

【答案】1、       2、        3、9,61

4、3,6        5、

：                                                        

                                                    。