专题7一元二次方程及应用（共30题）-2021年中考数学真题分项汇编（原卷版+解析版）【全国通用】

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2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）
专题7一元二次方程及应用（共30题）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·山东临沂市·中考真题）方程的根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
3．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（ ）
A．8B．16C． 32D．16或40
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】
解：一元二次方程




或
当时，
原一元二次方程为
，
，



当时，原一元二次方程为

原方程无解，不符合题意，舍去，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·四川广安市·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠-2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
【答案】D
【分析】
直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
【详解】
∵直线不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．
6．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，即：，+=3，
∴=-2(+)=-1-2×3=-7．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两根为，，则+=，=，是解题的关键．
7．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【分析】
根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】
解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
8．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4
【答案】D
【分析】
根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】
解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．
9．（2021·云南中考真题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．B．
C．且D．
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
11．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】
∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）

A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
13．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4B．a＞0C．0＜a≤4D．0＜a＜4
【答案】D
【分析】
由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可．
【详解】
解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点睛】
本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
二、填空题
14．（2021·上海中考真题）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】
解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_______．
【答案】9
【分析】
直接利用根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：由题可知：“△=0”，即；
∴；
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△