2022浙江省衢州市中考数学模拟试卷(word版含答案)

2022浙江省衢州市中考数学模拟试卷

一       、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）

1.|﹣3|=（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．﹣

2.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（    ）．

A． B． C． D．

3.函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．    x≥﹣2 C．    x≠2 D．    x≤﹣2

4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（    ）

A． B． C． D．

5.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（　　）

A．16个 B．17个 C．33个 D．34个

6.下列计算的结果是x5的为（　　）

A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x2）3

7.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（    ）．

A． B． C． D．

8.如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B． C． D．

9.如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（  ）

A． B． C． D．

10.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（　　）

A．6 B．﹣3 C．3 D．6

二       、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　   　．（任意添加一个符合题意的条件即可）

12.计算：2a+3a＝_____．

13.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为　   　．

14.已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．

15.如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为　   　．

16.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　   　．

三       、解答题（本大题共8小题，共66分）

17.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？

18.如图，点分别在菱形的边，上，且．

求证：．

19.如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A．B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．

（1）求A．B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？

（2）小李计划购买A．B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？

20.为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了       名学生，两幅统计图中的m＝       ，n＝       ．

（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？

（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．

21.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

22.如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．

（1）求证：OP∥BC；

（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

23.在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：

（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=　   　，CF=　   　．

24.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求的最小值；

（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

答案解析

一       、选择题

1.【考点】绝对值

【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数．

解：|﹣3|=3．

故选：A．

【点评】本题主要考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中，比较简单．

2.【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组

【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.

解：∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，

∴5x+y=3，

∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，

∴x+5y=2，

∴得到方程组，

故选：A．

【点评】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

3.【考点】函数自变量的取值范围

【分析】利用二次根式的性质求解

解：根据题意得，x+2≥0，

解得x≥﹣2．

故选B．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4.【考点】解直角三角形的应用

【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长．

解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，

∴

∵AD//BC

∴

∴

∴则四边形AEFD是矩形，

∴

在中，AB=8，

∴

∴

在中，，

∴

故选：B．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．

5.【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．

解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：

80m+50（50﹣m）≤3000，

解得：m≤16，

∵m为整数，

∴m最大取16，

∴最多可以买16个篮球．

故选：A．

【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键．　

6.【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方以及合并同类项，进行运算即可．

解：A．x10÷x2=x8．

B、x6﹣x=x6﹣x．

C、x2•x3=x5．

D、（x2）3=x6

故选C．

【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方以及合并同类项，解答此题关键是熟练运算法则．　

7.【考点】三角形的外接圆与外心,正多边形和圆

【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．

解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．

故选：D．

【点评】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．

8.【考点】正方形的性质；三角形三边关系．勾股定理

【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定A不正确．

解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，

因为15＞14，所以这个图形不可能存在．

故选A．

【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．　

9.【考点】解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积

【分析】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．

解：如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，

∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，

∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，

∵AD是切线，点D是切点，

∴AD⊥KD，

∵AK=13，DK=5，

∴AD=12，

∵tan∠EAO=，

∴，

∴OE=，

∴AE=，

作EH⊥AB于H．

∵S△ABE=•AB•EH=S△AOB-S△AOE，

∴EH=，

∴，

∴，

故选B.

【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

10.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转

【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．

解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′，

∴A′（3，1），

则把A′代入y=，

解得：k=3．

故选：C．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．

二       、填空题

11.【考点】平行线的判定

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．

解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；

若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；

若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；

若∠C=∠CDE，则BC∥AD；

故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

12.【考点】整式的加减

【分析】根据同类项运算的加法法则进行计算即可.

解：原式＝（2＋3）a

＝5a.

【点评】本题主要考查的是同类项运算的加法法则，熟练掌握法则是本题的解题关键.

13.【考点】等腰三角形的性质

【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．

解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，

当50°为底角时，其他两角为50°、80°，

所以等腰三角形的顶角为50°或80°．

故答案为：50°或80°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

14.【考点】解一元二次方程-因式分解法

【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．

解

（x-3m）（x-m）=0

∴x-3m=0或x-m=0

解得x1=3m,x2=m，

∴3m-m=2

解得m=1

故答案为：1．

【点评】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．

15.【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，菱形的性质

【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，由等边三角形的性质得到OH＝AH，求得S△OBH＝，于是得到结论．

解：连接OD，

∵△OAB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∵四边形OCDE是菱形，

∴DE∥OB，

∴∠DEO＝∠AOB＝60°，

∴△DEO是等边三角形，

∴∠DOE＝∠BAO＝60°，

∴OD∥AB，

∴S△BDO＝S△AOD，

∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，

∴S△AOB＝S△ABD＝，

过B作BH⊥OA于H，

∴OH＝AH，

∴S△OBH＝，

∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，

∴k的值为，

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．

16.【考点】三角形中位线定理；矩形的性质

【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=10，BO=DO=BD，

∴OD=BD=5，

∵点P、Q是AO，AD的中点，

∴PQ是△AOD的中位线，

∴PQ=DO=2.5．

故答案为：2.5．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．

三       、解答题

17.【考点】分式方程的应用

【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．

解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，

由题意得：＝，

解得：x＝18，

经检验：x＝18是原分式方程的解，

则30﹣18＝12（个）．

答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．

18.【考点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质

【分析】根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明后即可求解．

证明：∵四边形是菱形，

∴，．

在和中，

∴，

∴．

【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．

19.【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用

【分析】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；

（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．

解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，

由题意得：，

解得，

答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；

（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，

由题意得：，

解得，

答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．

20.【考点】列表法与树状图法

【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；

（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；

（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．

解：（1），

所以本次调查共抽取了200名学生，

，

，即；

（2），

所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1124人；

（3）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，

所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率。

21.【考点】一次函数的应用，二次函数的应用

【分析】（1）根据y=70求得x即可；

（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．

解：（1）根据题意，得：

∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意；

∴5x+10=70，

解得：x=12，

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，

当4＜x≤14时，设P=kx+b，

将（4，40）、（14，50）代入，得：，

解得：，

∴P=x+36；

①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）7.5x=150x，

∵W随x的增大而增大，

∴当x=4时，W最大=600元；

②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，

∴当x=11时，W最大=845，

∵845＞600，

∴当x=11时，W取得最大值，845元，

答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．

22.【考点】切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质

【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；

（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，由∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．

（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．

∴

∴∠AOP＝∠COP，

∴∠AOP＝∠AOC，

又∵∠ABC＝∠AOC，

∴∠AOP＝∠ABC，

∴PO∥BC；

（2）解：连接PC，

∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO＝∠COP，

∵∠AOP＝∠COP，

∴∠APO＝∠AOP，

∴OA＝AP，

∵OA＝OP，

∴△APO为等边三角形，

∴∠AOP＝60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，

∴△BCO为等边三角形，

∴∠COB＝60°，

∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，

∴△POC也为等边三角形，

∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，

又∵∠OCD＝90°，

∴∠PCD＝30°，

在Rt△PCD中，PD＝PC，

又∵PC＝OP＝AB，

∴PD＝AB，

∴AB＝4PD＝4．

【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．

23.【考点】几何变换综合题

【分析】（1）先判断出BM=NM，进而判断出△BME≌△NMF，得出BE=NF，即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）先求出AB，进而求出AC，即可求出CN，CM，最后求出BM，再用锐角三角函数求出BE，即可得出结论．

解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，

∴BM=MN，

在四边形ABMN中，∠BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，

∵∠ENF=135°，

∴∠BME=∠NMF，

∴△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵CN=CF+NF，

∴BE+CF=BM；

（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=NF﹣CF，

∴BE﹣CF=BM；

针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=CF﹣NF，

∴CF﹣BE=BM；

（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），

∴AB=AN=+1，

在Rt△ABC中，AC=AB=+1，

∴AC=AB=2+，

∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，

在Rt△CMN中，CM=CN=，

∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，

在Rt△BME中，tan∠BEM===，

∴BE=，

∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，

∴CF=BM﹣BE=1﹣

②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，

∴此种情况不成立；

③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，

∴CF=BM+BE=1+，

故答案为1，1+或1﹣．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，角平分线定理，勾股定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，判断出BE=NF是解本题的关键．

24.【考点】二次函数综合题

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；

（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，由得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．

解：（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，

将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，

∴a=1，

∴抛物线的解析式为y=−2x−3；

（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB，

∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，

∴OB=OC=3，

∵O、D关于直线BC对称，

∴四边形OBDC为正方形，

∴D(3，−3)，

连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，

AD=，

∴|QO|+|QA|有最小值为5；

（3）由已知点A(−1，0)， B(3，0)，C(0，−3)，

设直线BC的表达式为y=kx−3，

把B(3，0)代入得：0=3k−3，

解得：，

∴直线BC的表达式为y=x−3，

同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．

∵PQ∥AC，

∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，

由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b= m2+m−3，

∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，

由，解得，

即，

由题意：，

∵P，Q都在四象限，

∴P，Q的纵坐标均为负数，

∴，

即，

根据已知条件P的位置可知．

∴时，S最大，

即时，S有最大值．