初中苏科版6.5 相似三角形的性质复习练习题

这是一份初中苏科版6.5 相似三角形的性质复习练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

相似三角形的性质
一、单选题
1．若两个相似三角形的相似比为，则它们的对应周长比为（　　）
A．1∶9 B．1∶6 C．6∶1 D．1∶3
2．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，，则的值为（　　）

A．3：4 B．1：3 C．1：4 D．2：3
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′B′C′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′，当点C′落在AB的延长线上时，在A'B上取一点D，使得BD＝3，则CD的长为（　　）

A．3 B．3.6 C．4 D．4.8
4．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点D在AB边上，AB＝5，BD＝3，边BC与DE相交于点F，连接BE，则的值是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若AD=4，BD=8，则CD的长为（　　）

A． B．4 C． D．
6．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）

A． B． C． D．
8．如图，∠ABD=∠CBE=90°, AB=BD, ∠CAB=∠E．若BE=10, AD=，则的值为（　　）


A． B． C． D．
9．如图，在ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若ABC的面积为4cm2，则DEF的面积是（　　）cm2．

A．0.5 B．1 C．2 D．4
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E 分别在 AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 （　　）

A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形边形ABFG的面积比为（　　）


A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，点E、F分别是、边上的两点，且，、分别交于M，N．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①②
二、填空题
13．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：3，已知三角板的一边长为8cm．则投影的对应边长为______cm．

14．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，OA＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为______．

15．如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转180°．点D到了点F的位置，则______．

16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，将△ABO沿着AC折叠得到ΔAB′O，B′O与AD相交于点E，则OE的长是______．

17．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点C，若＝1，则k＝_______．

三、解答题
18．如图，AD为的角平分线，点E，F在边AB上，，FC交AD于点G．若，，，．

(1)求的度数．
(2)求BD的长．


19．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动）


(1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围；
(2)当等于何值时，与相似？


20．已知：是等边三角形，点D在直线上、点E在的延长线上，且，连接，点F为的中点，连接、．


(1)如图1，若，连接，求：的度数；
(2)如图2，若，试说明：．


21．已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．


(1)如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
(2)如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．



22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．

(1)当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，连接BD，EF，
①求证：△CEF∽△CBD；
②若＝，求的值；
(2)当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，联结AG，MN，若AB＝4，AC＝2，当△AMN是等腰三角形，求CE的长．

参考答案：
1．D
解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的对应周长比为．
故选：D．
2．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A
3．B
解：过B作BE⊥CD于E，如图：

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠ABC＝∠A'BC'，
∵BC＝BD＝3，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠ABC+∠A'BC'+∠CBD＝180°＝∠BCD+∠BDC+∠CBD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴△ACB∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴CE＝1.8，
∵BC＝BD，BE⊥CD，
∴CD＝2CE＝3.6，
故选：B．
4．C
解：如图，过点作交于点，

和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
5．A
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
而CD为AB边上的高，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD2=AD•BD，
又AD=4，BD=8，
∴CD=4，
故选：A．
6．D
解：如图：

∵，为边上的高线，
∴且，，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
7．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝2ED，
∴BC＝2ED，
∴＝，
故选：B．
8．D
解：∵∠ABD=90°, AB=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
根据勾股定理即,
∴AB=BD=4，
∵∠ABD=∠CBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBE=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠CAB=∠E，
∴△ABC∽△EBD，
∴．
故选择D．
9．B
解：∵点D、E、F分别是各边的中点，
∴EF=AB，ED=AC，DF=BC，
∴，
∴△EFD∽△ABC，且相似比为，
∴，
∵△ABC的面积为4cm2，
∴△DEF的面积是1cm2，
故选：B．
10．D
解：沿翻折后，点落在点处，
，
为的中点，
，
，
又，，
，
，
即，
解得．
故选：D．
11．B
解：设，则．
∵四边形DEFG为的内接矩形，，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，即，
解得．
∴，，
∴．
∵，
∴．
故选B．
12．A
解：①∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∠BAN=∠AMD．
又∠ABN=∠ADM=45°，
△ABN∽△MDA，
AB:BN＝DM:AD，
AD=AB，
．
故①正确；
②如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，

∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∠BAE+∠DAF=45°．
∠EAF=∠HAF，
AE=AH，AF=AF，
△AEF≌△AHF，
∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE，
故②正确；
③AB∥CD，
∠DFA=∠BAN，
∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∠AFE=∠AMN，
又∠MAN=∠FAE，
△AMN∽△AFE，
AM:AF=AN:AE，即AM·AE=AN·AF，
故③正确；
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE，
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF，
则△AFE与△AMN的相似比就是AG:AO，
易证△ADF≌△AGF（AAS)，
则可知，从而得证，
故④正确，
故选：A       ．
13．12
解：三角板与其投影的相似比为2：3，三角板的一边长为8cm，
则投影的对应边长为
故答案为：12
14．
解：如图，连接OB．


∵AC为直径，
∴，即．
∵OA=OB，
∴．
又∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：．
故答案为：．
15．
解：∵DE为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
16．##
解：如图，连接交于点，连接，

由折叠可知：，，
在矩形中，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
△，
，
，
，
，
，
．
的长是．
故答案为：．
17．-4
解：如图，作轴于，设．

∵，
．
∵的面积为1，

，

,

，
，
∵反比例函数的图象经过点，
．
故答案为﹣4．
18．(1)60 (2)．
(1)
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△EAD和△CAD中，，
∴（SAS），
∴∠ADE=∠ADC=60
∴∠BDE=180-∠ADE-∠ADC=180-60-60=60；
(2)
解：∵FB=FC，
∴∠EBD=∠GCD；
∵∠BDE=∠CDG=60，
∴△BDE∽△CDG，
∴，
∵，
∴DE=CD=3，
∵DG=2，
∴．
19．(1)AP=2tcm（），AQ=（16-2t）cm（） (2)或
(1)
解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-2t）cm（）
(2)
解：当时
①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC．
∴
又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm，
∴
解得：；


②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB．
∴，
∴
解得：t=6.4（不合题意，舍去）
当6≤t≤16时，点P与点C重合，
∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB．
∴
∴
解得：
综上所述：或．


20．(1)30° (2)见解析
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵CD=CE，
，
∵DF∥CE，
∴．
(2)
过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AC于点M，如图所示：

设AD=a，CD=CE=2b，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，，
∴FH∥EM，
，
，
，
∴，


，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．(1)①22.5° ②见解析 (2)
(1)
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ACF=45°，∠ADF=∠ADC=90°，
∵CF=CA，
∴，
∴∠FAD=∠FAC-∠DAC=67.5°-45°=22.5°；
②证明：连接GE，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AE=CE，BE=DE=BD，
∵AC=CF，
∴CF=BD，
∵AG=FG，AE=CE，
∴EG=CF，
∴EG=BD，
∴GE=BE=DE，
∴∠EGD=∠EDG，∠EGB=∠EBG，
∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG=180°，
∴∠EGD+∠EGB=90°，
∴∠BGD=90°，
∴BG⊥DG；
(2)
如图2，连接EG，

∵BG⊥DG，BE=DE，
∴GE=BE=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=CE=AC，BE=DE=BD，AC=BD，
∴AE=CE=BE=DE，
∴点A、G、D、C、B在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴∠DGF=∠ACD，
∵∠F=∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴，
∴FD•FC=FG•FA，
设FD=x，则，
∵FG=2AG，
∴，
∴，
∴x1=，x2=-（舍去），
∴FD=．
22．(1)①见解析；② (2)CE为或2或
(1)
解：（1）①证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，
∵∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CBD=∠CDB，∠ECF=∠BCD，
∴∠CEF=∠CBD，
∴△CEF∽△CBD；
②连接AC，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = DC，AC⊥BD，
由①知， △CEF∽△CBD，
∴，
设EC=2a，则AB=BC=5a，BE=3a，
∴，
∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴，
∵，
∴△AEF∽△BAC，
∴，
∴；
(2)
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠ANC，
∴∠ANC=∠CAM，
同理：∠AMC=∠NAC
∴△MAC∽△ANC，
∴，
当AM=AN时，如图，

∵∠ANC=∠CAM，AM=AN，∠AMC=∠NAC，
∴△ANC≌△MAC（ASA），
∴CN=AC=2，
∵AB∥CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴，
∵BC=AB=4，
∴；
当AN=MN时，如图，则∠NMA=∠NAM ，

∵AB=BC
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴，
∴，
∴CN=2AC=4=AB，
∴△CEN≌△BEA（AAS），
∴；
当AM=MN时，如图，则，

∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当△AMN是等腰三角形时， CE为或2或．